Получение основной системы разрешающих уравнений.

Минимизируя функцию Э(q) по всем элементам вектора [q]всей области, получаем:

Учитывая, что Э(U) =

(3)

где суммирование производится по всем конечным элементам.

Для линейных задач функционал Э(U) является квадратичной функцией от U и ее производных, и следовательно, e-ый член правой части (3) принимает вид:

(4)

где [k]^{( e ) -} квадратная матрица размером r ´ r

( r - число узловых неизвестных e -го элемента)

Коэффициенты этой матрицы определяются свойствами среды. Для нелинейных задач матрица [k]^{(e )} является функцией вектора {q^(e)} - вектор узловых неизвестных.

Вектор {p^(e)} имеет размер r , он характеризует внешнее воздействие на

e-ый элемент. С учетом (4) уравнение можно переписать:

(5)

где [K_¶]= - квазидиагональная матрица порядка r ´ M (М - число элементов),

{p} = { {p}⁽¹⁾ {p}⁽²⁾ .....{p}^(m)} - вектор размером r ´ M.

Уравнение (5) записано в местной системе координат. В целях дальнейших упрощений целесообразно от местной системы осуществить переход к так называемой общей системе координат.

Введем для S - ой узловой точки вектор неизвестных

Совокупности этих векторов образуют вектор основных неизвестных в общей системе координат

где F - число узлов, N - число неизвестных по всей области.

Между векторами {q} и существует некоторая связь

{q}= [Н]

где [Н] - булева матрица размером M ´ N . Ее структура определяется геометрией элемента, классом краевой задачи и принятым порядком нумерации для элементов векторов {q} и .

Если принять в векторе {р}^(e) тот же порядок нумерации компонентов, что и в векторе {q}^(e) , то умножив (5) на матрицу [H] ^T , с учетом зависимости (6), получим:

+ (7)

где = [ H ]^T [К_¶] [ H ] - общая матрица коэффициентов при основных неизвестных в общей системе координат для всей области.

Размер квадратной матрицы равен N ´ N .

[ H ]^T - вектор-столбец размером N . Его элементы характеризует внешнее воздействие на всю область W. Полученное матричное уравнение (7) и есть искомая система алгебраических уравнений для определения основных узловых неизвестных .