Основные теоремы и принципы электромагнитного поля
Электродинамические потенциалы электромагнитного поля.
К электродинамическим потенциалам электромагнитного поля относят:
- векторный магнитный потенциал 
- электрический скалярный потенциал 
- скалярный магнитный потенциал 
- электрический векторный потенциал.
Векторный магнитный потенциал определяется как 
или 
((х) векторное произведение).
Электрический скалярный потенциал 
- некоторая скалярная величина, градиент которой равен сумме векторов напряженности электрического поля и производной по времени от магнитного векторного потенциала
или 
Доказательство:
или 
или 
При этом 
, с – некоторая постоянная величина.
Связь векторного магнитного потенциала с электрическим скалярным потенциалом.
Запишем первое уравнение Максвелла в дифференциальной форме:
или 
Заменим в этом уравнении напряженность магнитного поля H и электрическое смещение D на векторный магнитный и электрический потенциалы. Получим
************
Окончательно
Для частного случая, не изменяющихся во времени полей
Это уравнение называется уравнением Пуассона для векторного магнитного потенциала.
А совокупность уравнений:
Является системой уравнений при помощи, которых мы вводим новое векторное поле. Аналогично могут быть введены и другие потенциалы: скалярный магнитный и электрический векторный.
Запись системы уравнений Максвелла через скалярный электрический и векторный магнитный потенциалы:
Удобства этой формы записи состоит в том, что переменные здесь разделены при чем каждая из уравнений содержит только одну переменную. Первые части этих уравнений представляют собой источники возбуждающие электромагнитное поле – токи или заряды.
Решение уравнений Максвелла при заданных источниках.
Пусть в некоторой области пространства нет частиц, способных переносить заряды и поляризоваться 
, 
и 
. назовем такую среду вакуумом. Система уравнений Максвелла для такого пространства будет иметь вид.
Известно, что основное уравнение поля можно записать через электродинамические потенциалы A и 
. Для области пространства, где нет зарядов, можно принять 
.
В этом случае уравнение для векторного потенциала можно записать в виде
, где 
- скорость света
Уравнения такой структуры называют волновыми уравнениями, а их решение волнами. Если найдено решение A - то можно найти напряженность электрического и магнитного полей.
Из выражения 
и 
, учитывая, что 
и 
для вакуума получим
и 
В некоторых случаях удобнее искать решение уравнений непосредственно записанных для векторов 
и 
.
Такие уравнения получаются из (1), исключив один из неизвестных. Например, если вынести ротор левой и правой части второго уравнения то получим
или
К левой части применено известное правило векторного анализа 
, а в правой части сделана подстановка из 1-го уравнения
Учитывая, что 
- можно получить
и аналогично
Это есть система волновых уравнений.
Решение волновых уравнений для заданных источников.
Для тока или напряжения в однородной линии без потерь структура уравнения имеет вид 
, а его решение как сумма двух волн: падающей и обратной.
Решение записывается в виде 
Падающая волна 
распространяется в направлении оси 
, обратная 
- в обратном направлении.
Положим, что векторный потенциал A применяется только по направлению оси z. Такая волна называется плоской электромагнитной волной. Волновое уравнение в этом случае будет иметь вид 
(2)
Решение уравнения (2) будет иметь вид:
Где 
- проекция А на ось y
- проекция А на ось x
- орты.
То есть вектор 
не имеет z составляющей. Вектор H выражается через Е
В случае плоской электромагнитной волны векторы Е и Н лежат в плоскости 
к оси Z. И для прямой обратной волны
Переменное электромагнитное поле в однородной проводящей среде.
1. Уравнение Максвелла для проводящей среды.
Рассмотрим особенности распространения электромагнитной волны в проводящей среде с проводимостью 
и магнитной проницаемостью 
. 
; 
Первое и второе уравнение Максвелла записанное в комплексной форме для синусоидально изменяющихся во времени 
и 
.
(1)
(2)
где 
- круговая частота изменения векторов и
В проводящей среде даже при очень высоких частотах
По этому с большой степенью точности слагаемым 
в первом уравнении Максвелла можно пренебречь. Таким образом первое и второе уравнение Максвелла для проводящих сред записываются как
(1) 
(2) 
Решим эти уравнения относительно 
и 
. С этой целью возьмем ротор от (1)
Учтем, что 
, поэтому 
. Вместо 
в соответствие с (2) подставим -. 
Получим
(3)
Данное уравнение является дифференциальным относительно 
.
В общем случае, когда 
зависит от всех трех или даже от двух координат, решение этого уравнения очень сложно. Ограничимся рассмотрением решения данного уравнения для плоской электромагнитной волны.
2. Плоская электромагнитная волна.
В общем случае под плоской электромагнитной волной понимают волну, векторы 
и 
которые расположены в плоскости x o y , перпендикулярны направлению распространения волны ( ось z) и изменяющиеся только функции координаты z и времени t.
Рис.
На рисунке изображены для одного и того же момента времени векторы и в двух параллельных плоскостях , перпендикулярных оси z декартовой системы координат. Во всех точках первой плоскости напряженности электрического и магнитных полей одинаковы по величине и направлении. Во всех точках второй плоскости напряженность электрического и магнитного полей также одинаковы по величине и направлению, но не равна напряженности поля в первой плоскости.
В плоской электромагнитной волне между векторами и существует пространственный сдвиг в 900.
Характеристика сред , связывающая абсолютную магнитную проницаемость , удельную проводимость 
[Сим/м] , угловую чистоту 
называется волновым сопротивлением проводящей среды
[Ом]
Волновое сопротивление 
можно трактовать как отношение 
, при этом сдвиг по времени между 
и 
для одной и той же точки поля равен 450 .
| <== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
| Электромагнитные волны. Из уравнений Максвелла следует важный вывод о существовании принципиально нового физического явления: электромагнитное поле способно существовать | | | Автогенді үрдістер. |
Дата добавления: 2015-12-16; просмотров: 1645;