Законы распределения носителей зарядов в энергетических зонах

Энергетические уровни в разрешенных зонах полупроводников распределены неравномерно. В любой энергетической зоне энергетические уровни характеризуются определенной плотностью Ф(W), т.е. числом уровней, отнесенным к единице энергии и единице объема:

, (1.3)

где А ¾некоторый коэффициент;

W ¾ текущее значение энергии;

W_ГР ¾ граничное значение энергии.

Вблизи "дна" и "потолка" каждой из зон плотность уровней распределяется так, как показано на рис.1.6.

Верояитность нахождения электрона при данной температуре на уровне с энергией W определяется функцией Ферми:

, (1.4)

где k ¾ постоянная Больцмана, k = 1,38×10^-23Дж/град = 0,86×10^-4эВ/град;

W_Fi ¾энергия, соответствующая уровню Ферми;

Т ¾ абсолютная температура.

При Т = 0К функция Р_n(W) принимает следующие значения :

если W>W_Fi , то P_n(W) = 0;

если W<W_Fi , то P_n(W) = 1.

Т.о. при абсолютном нуле все уровни ниже уровня Ферми полностью заняты, а уровни выше уровня Ферми полностью свободны, т.е. функция P_n(W) имеет ступенчатый характер. При повышении температуры функция P_n(W) сглаживается и вероятность появления электрона в зоне проводимости становится отличной от нуля (рис.1.7.). Одновременно вероятность появления дырки в валентной зоне тоже становится отличной от нуля. Верояитность нахождения дырки при данной температуре на уровне с энергией W определяется функцией:

, (1.5)

Понятие уровня Ферми имеет достаточно сложный физический смысл. Его можно рассматривать, во-первых, как максимально возможное значение энергии электрона при абсолютном нуле температуры, и , во-вторых, как энергетический уровень, вероятность заполнения которго равна 0,5.

Т.к. в чистом полупроводнике концентрация дырок равна концентрации электронов, то уровень Ферми находится строго посередине запрещенной зоны (рис.1.8):

. (1.6)

На этом рисунке

. (1.7)

Полупроводники, у которых DW ≥ 3kT, называют невырожденными. Если DW < 3kT, то полупроводник называют вырожденным. Вырожденные полупроводники получаются при высоких температурах или при большой концентрации носителей зарядов. Для невырожденных полупроводников можно найти выражения для концентрации носителей зарядов:

, (1.8)

, (1.9)

где А_n и А_р ¾ универсальные константы и зависят от материала полупроводника.

Т.к. концентрация зарядов в разрешенных зонах экспоненциально зависит от температуры, то и электропроводность соответствующих полупроводников также экспоненциально зависит от температуры.

При комнатной температуре (Т = 300К) концентрация носителей зарядов для германия (Ge) n = p ≈ 10¹³см ^-3, для кремния (Si) n = p ≈ 10¹⁰см ^–3. Для сравнения: концентрация атомов в металлах при этой температуре N ≈ 10²²см ^–3. Т.о. можно сделать вывод, что при комнатной температуре чистые полупроводники практически являются диэлектриками.