НАДЕЖНОСТЬ СИСТЕМЫ С НЕНАГРУЖЕННЫМ РЕЗЕРВИРОВАНИЕМ
Общий анализ надежности приведен для системы, состоящей из одного основного (рабочего) и (n - 1) резервных элементов.
Допущения:
1. Время замены отказавшего элемента резервным равно 0 (t3 
0).
2. Переключающее устройство подключения резервного элемента вместо отказавшего основного – абсолютно надежно.
При ненагруженном резервировании резервный элемент не может отказать, находясь в отключенном состоянии, и его показатели надежности не изменяются.
Исходные данные для расчета надежности:
- вероятность безотказной работы (ВБР) i-го элемента Pi(t).
- интенсивность отказов (ИО) i-го элемента
i(t). - математическое ожидание (МО) наработки до отказа i-го элемента T0i.
Анализ случайной наработки до отказа системы с ненагруженным резервом (рис. 1):
Рис. 1
МО наработки до отказа системы:
где T0i = M(Ti ) – МО наработки до отказа i-го элемента системы.
Рассмотрим систему, состоящую из основного элемента (ОЭ) и одного резервного (РЭ). ОЭ и РЭ являются невосстанавливаемыми объектами.
Рис. 2
События, соответствующие работоспособности системы за наработку (0, t):
A = {безотказная работа (БР) системы за наработку (0, t)};
A1 = {БР ОЭ за наработку (0, t)};
A2 = {отказ ОЭ в момент t > 
, включение (t3 = 0) РЭ и БР РЭ на интервале (t – )}.
Событие A = A1 
A2, поэтому ВБР системы к наработке t (за наработку (0, t)), определяется:
P(A) = P(A1 ) + P(A2 ) ,
где P(A) = Pс(t);
P(A1 ) – ВБР ОЭ к наработке t, P(A1 ) = P1 (t);
P(A2 ) = Pр (t) – вероятность отказа ОЭ и БР РЭ после отказа ОЭ.
При известном законе распределения наработка до отказа ОЭ вычисление P1 (t) не представляет сложности.
Событие A2 является «сложным» событием, включающим в себя простые:
A21 = {отказ ОЭ при < t (вблизи рассматриваемого момента )};
A22 = {БР РЭ с момента до t, т. е. в интервале (t - )}.
Событие A2 осуществляется при одновременном выполнении событий A21 и A22:
A2 = A21 
A22 .
События A21 и A22 являются зависимыми, поэтому вероятность события A2
P(A2 ) = P(A21 ) · P(A22| A21 ) .
Соответствующие вероятности:
1) P(A22| A21 ) = P2 (t - ) – ВБР РЭ в интервале (t - ),
где P2 (t) – ВБР РЭ к наработке t.
2) для определения P(A21 ) рассмотрен малый интервал ( , + d ), для которого вероятность отказа ОЭ равна:
f1( ) d
Для получения ВО ОЭ к моменту интегрируем полученное выражение по от 0 до t.
Поскольку ВО, как функция распределения случайной наработки до отказа,
равна 
то
где 
Вероятность события A2:
Тогда ВБР рассмотренной системы с ненагруженным резервом равна:
| (1) |
Аналогично, для системы с одним ОЭ и (n -1) РЭ, получается рекуррентное выражение:
| (2) |
где индекс (n - 1) означает, что соответствующие характеристики (ВБР и ПРО) относятся к системе, в которой включается в работу последний n-й элемент.
Выражение (2) приведено для состояния, когда к моменту отказал предпоследний (n -1) элемент системы и остался лишь один (последний) работоспособный элемент.
Принимая для рассмотриваемой системы, что наработки до отказа ОЭ и РЭ подчиняются экспоненциальному распределению с параметрами 1 и 2:
| P1 (t) = exp ( - 1 t);
| P2 (t) = exp ( - 2 t),
|
выражение (1) после интегрирования имеет вид:
| (3) |
Плотность распределения наработки до отказа системы, равна:
| (4) |
При кратностях резервирования k > 5 распределение наработки до отказа системы с ненагруженным резервом становится близким к нормальному независимо от законов распределения наработки, составляющих систему элементов.
При идентичных ОЭ и (n -1) РЭ и экспоненциальном распределении наработки элементов для ВБР системы с ненагруженным резервом и целой кратностью резервирования k = (n - m)/m, где m = 1:
| (5) |
где n – число элементов системы;
k = (n - 1)/1 = (n - 1) – кратность резервирования, при m = 1 .
ВО системы:
| (6) |
ПРО системы:
ИО системы:
Таким образом, распределение наработки до отказа таких систем подчиняется распределению Эрланга (гамма-распределение при целых n).
Согласно, выражению (5) проанализируем, как изменяется ВБР системы при различной кратности резервирования:
Сравнение ненагруженного и нагруженного резервирований проведено по графику Pс( t) для системы с идентичными элементами ( ) и кратностью резервирования k = 2.
Наибольшая эффективность от использования системы с ненагруженным резервом будет при продолжительности работы РЭ не менее 1.5 T0.
При ненагруженном резерве с дробной кратностью (при m > 1) и экспоненциальном распределении наработки до отказа идентичных элементов (ИО ) расчетное выражение для Pс(t):
где k* = n – m.
Ниже рассмотрены показатели безотказности системы с ненагруженным резервированием, когда случайная наработка до отказа элементов системы подчиняется нормальному распределению с ПРО
где 
- число элементов системы.
Поскольку случайная наработка до отказа системы
а Ti являются независимыми случайными величинами наработки, то сумма (композиция) независимых случайных величин, каждая из которых распределена нормально, также имеет нормальное распределение с параметрами:
- математическое ожидание наработки до отказа
- дисперсия наработки до отказа
Среднее квадратичное отклонение наработки до отказа системы, определяется:
Плотность распределения случайной наработки до отказа системы при целой кратности резервирования
Показатели безотказности определяются с использованием функций f(x) и 
(x) для
и имеют вид:
Pс(t) = 0,5 - (x) ; Qс(t) = 0,5 + (x) .
Для системы с элементами наработка на отказ которых подчиняется экспоненциальному распределению Pi (t) = exp(- i t), можно принять Pi(t) 
1 - i t, поэтому выражения ВО и ВБР:
При ненагруженном резерве ВО системы в n! раз меньше, чем при нагруженном.
Контрольные вопросы:
1. Что представляет собой ненагруженное резервирование и как случайная наработка до отказа системы связана со случайными наработками составляющих систему элементов?
2. Основные допущения, принятые при расчете системы с ненагруженным резервированием?
3. К какому закону распределения стремится наработка до отказа системы при больших значениях кратности резервирования?
4. Проанализируйте, как изменяется вероятность безотказной работы системы с увеличением кратности резервирования?
5. При каких условиях ненагруженное резервирование становится значительно эффективнее нагруженного?
6. Какой закон распределения наработки до отказа будет у системы с ненагруженным резервированием, если законы распределения наработки до отказа элементов являются нормальными?
7. Приведите расчетные формулы показателей безотказности для системы с нормальным распределением наработки элементов?
Лекция 12
Дата добавления: 2015-12-08; просмотров: 726;