С о в м е с т и м о с т ь

1. Подчинение.

Подчинение характеризует отношения между А и I, Е и О, причем частные суждения подчиняются общим.

А(Е)назовем подчиняющим суждением, I (О) - подчиненным суждением.

а) Истинность подчиняющего суждения обусловливает истинность подчиненного, т.е. если суждение "Все великие люди низкого роста"(А) истинно, то истинно и суждение "Некоторые великие люди низкого роста" (I). То же для Е и О.

б) Ложность подчиненного суждения обусловливает ложность подчиняющего суждения. Если суждение "Некоторые эпузы гантируются" (I) ложно, то суждение "Все эпузы гантируются" (A) также ложно. То же для О и Е.

в) Вместе с тем подчиняющее и подчиненное суждения могут быть вместе ложны. Так, суждения "Ни один человек не является смертным" (E) и "Некоторые люди не являются смертными" (O) одновременно ложны.

Если для обозначения отношения подчинения ввести знак "╞", то указанные отношения будут выглядеть следующим образом:

A╞I

Е╞О

2. Дополнительность[45].

Дополнительность характеризует отношения между I и О.

Суждения находятся в отношении дополнительности, если они не могут быть вместе ложными.

Отсюда вытекает:

а) они могут быть вместе истинными;

б,в) одно из них может быть истинным, а другое - ложным.

Пример. Рассмотрим суждения "Некоторые студенты являются веселыми людьми" и "Некоторые студенты не являются веселыми людьми". Очевидно, что они могут быть вместе истинными. Но мобут ли они быть вместе ложными? Предположим, что суждение "Некоторые студенты являются веселыми людьми" ложно. Это означает, что среди студентов нет ни одного веселого человека, т.е. суждение "Ни один студент не является веселым человеком" истинно, тогда в силу отношения подчинения суждение "Некоторые студенты не являются веселыми людьми" будет истинным, и следовательно, не может быть ложным.

Дополнительность характеризует отношения между I и О следующим образом.

Если I ложно, то О истинно.

Если О ложно, то I истинно.

Несовместимость

1. Противоречие.

Суждения находятся в отношении противоречия, если они не могут быть ни вместе истинны, ни вместе ложны.

В отношении противоречия находятся суждения А и О, Е и I.

Пример. Именно отношение противоречия помогло нашим героям найти наилучшую стратегию в споре. Суждения "Все великие люди имеют низкий рост" и суждение "Некоторые великие люди не являются людьми низкого роста" находятся в отношении противоречия. Если одно из них истинно, то другое обязательно ложно, и наоборот.

Противоречие можно охарактеризовать следующим образом.

Если А (Е) истинно, то О (I) ложно.

Если А (Е) ложно, то О (I) истинно.

Если О (I) истинно, то А (Е) ложно.

Если О (I) ложно, то А (Е) истинно.

Нетрудно заметить, сколь содержательно отношение противоречия, сколько конкретных отношений между отдельными видами категорических суждений вытекает из этого отношения.

Отношение противоречия - одно из самых важных видов логических отношений вообще. Вы могли убедиться в этом, когда мы решали задачи о рыцарях и лжецах, или когда вы использовали метод доказательства от противного при решении математических задач. Обратите внимание на то, что нам удавалось добиться прогресса в решении задачи, когда мы обнаруживали противоречие между суждениями и устраняли его.

Заметим, что каждое логически истинное суждение находится в отношении противоречия с каждым логически ложным суждением.

2. Противоположность.

Суждения А и В находятся в отношении противоположности, если они не могут быть вместе истинными.

Очевидно, что мни могут быть вместе ложными. В отношении противоположности находятся суждения А и Е. Между ними имеются следующие отношения:

Если А истинно, то Е ложно,

Если Е истинно, тоА ложно.

Пример. Суждения "Все великие люди - низкого роста" и "Ни один великий человек не является человеком низкого роста" находятся в отношении противоположности.

"Ав: Подведем итоги. Пусть наш оппонент в споре выдвигает суждение "Все интеллигенты - бездельники". Как мы с ним будем спорить?

Ст:Здесь велик соблазн броситься защищать мнение "Ни один интеллигент не является бездельником". Но теперь мы знаем, что это не лучшая стратегия, если ты хочешь выиграть спор.

Сс:Правильно. Теперь ясно, что следует пользоваться отношением противоречия, потому что именно суждение, находящееся в отношении противоречия, является наиболее полным отрицанием того, что сказано в исходном суждении. Если нам удастся обосновать противоречащее суждение, то из этого определенно следует ложность суждения нашего оппонента.

Ав:А почему неправильно пользоваться отношением противоположности?

Сс:Потому что в этом случае мы, хотя и смогли бы доказать ложность убеждения оппонента, но нам пришлось бы доказывать слишком много.

Ст:Итак, мы будем доказывать суждение "Некоторые интеллигенты не являются бездельниками". Вот мы, например, уже сколько времени непрерывно заняты делом, ибо разве может быть лучшее дело для интеллигента, чем совершенствовать свое мышление.

Ав: Мыслить самостоятельно и правильно - важнейшее дело. Иммануил Кант говорил, что это - свойство просвещенного мышления. Что ж, будем мыслить просвещенно."

Итак, в результате рассмотрения отношений между категорическими суждениями получилась следующая классификация:

§ 2. Отношения между сложными суждениями

Сложные суждения вступают в отношения, подобные отношениям между категорическими суждениями, которые мы систематизировали при помощи логического квадрата. Однако имеются и некоторые отличия.

Начнем мы также с отношений сравнимости и несравнимости.

Для начала введем некоторые дополнительные понятия. Отношения между сложными суждениями, допустим А и В, мы будем выяснять при помощи построенной для них совместной таблицы истинности.

Совместная таблица для суждений А и В строится следующим образом:

Вход таблицы строим как для суждения , т.е. на входе выписываем объединение множества простых суждений из А и В, а затем вычисляем истинностные значения суждений А и В отдельно.

Пример. Рассмотрим суждения и .

Объединением множества простых суждений из А и В будет {p, q, r}. Следовательно, строим вход таблицы с тремя простыми суждениями, а далее вычисляем истинностные значения А и В по отдельности[46].

p	q	r
И	И	И	Л	И	Л	Л
И	И	Л	Л	И	Л	Л
И	Л	И	И	И	Л	Л
И	Л	Л	И	И	Л	Л
Л	И	И	Л	Л	И	И
Л	И	Л	Л	Л	И	Л
Л	Л	И	И	И	И	И
Л	Л	Л	И	И	И	Л

Мы видим, что в совместной таблице возможны различные сочетания истинностных значений сложных суждений А и В. В общем случае (И И), (И Л), (Л И), (Л Л) - все возможные комбинации значений истинности двух суждений.

Сложные суждения А и В назовем несравнимыми, если в совместно построенной для них таблице среди сочетаний их истинностных значений встречаются все возможные комбинации.

Пример. Суждения и являются несравнимыми, поскольку в совместной таблице встречаются все возможные комбинации истинностных значений. См. строки 4, 5, 6, 7.

Сложные суждения А и В назовем сравнимыми, если в совместной таблице среди сочетаний их истинностных значений отсутствует хотя бы одна возможная комбинация.

Пример. Суждения и сравнимы, потому что в совместной таблице отсутствует комбинация истинностных значений (Л И).

Проверьте это сами.

Среди сравнимых суждений мы будем различать совместимые и несовместимые суждения.

Совместимыми назовем суждения, одновременно истинные или принимающие во всех строках таблицы одни и те же значения.

Несовместимыми назовем суждения, которые не являются одновременно истинными и не принимают во всех строках таблицы одни и те же значения.

Вопрос о том, могут или не могут данные суждения быть одновременно истинными (ложными), решается при помощи таблиц истинности. Теперь мы можем уточнить, что значит быть одновременно истинными (ложными).

Суждения А и В одновременно истинны (ложны), если они принимают значения И (Л) в одной и той же строке, построенной для них совместно таблицы.

Совместимость

Мы рассмотрим три вида отношения совместимости:

а) эквивалентность; б) дополнительность; в) логическое следование.

а) Эквивалентность

Рассмотрим следующий диалог:

Вадим: Ты завтра пойдешь на лекцию по логике и со мной на концерт?

Ольга: Нет!

Что сказала Ольга? К чему ее обязывает этот ответ? Ее несогласие с требованием, содержащимся в вопросе, означает, что она считает истинным суждение "Неверно, что я завтра пойду на лекцию по логике и с Вадимом на концерт". Но что означает это суждение? К чему оно ее обязывает? Следует ли для того, чтобы сдержать свое обещание, не ходить ни туда, ни туда, или надо вести себя как-нибудь по-другому?

Проверим нашу гипотезу. Одно ли и то же сказать: "Неверно, что я завтра пойду на лекцию по логике и с тобой на концерт" и сказать: "Я завтра не пойду на лекцию по логике и не пойду с тобой на концерт".

Первое суждение мы запишем в виде , второе суждение в виде . Построим для них таблицу истинности.

p	q
И	И		Л	Л	И	Л	Л
И	Л		Л	И	Л	И	Л
Л	И		И	Л	Л	И	Л
Л	Л		И	И	Л	И	И

Мы видим, что эти суждения имеют различные таблицы истинности, а значит, означают не одно и то же.

Рассмотрим другую гипотезу. Предположим, что суждение "Неверно, что я пойду на лекцию по логике и завтра с тобой на концерт" означает то же самое, что и "Я завтра не пойду на лекцию по логике или не пойду с тобой на концерт", т.е. .

p	q
И	И		Л	Л	Л	Л
И	Л		Л	И	И	И
Л	И		И	Л	И	И
Л	Л		И	И	И	И

Получается, что суждения и принимают одни и те же значения во всех строках таблицы, а следовательно,означают одно и то же.

Отношение между суждениями, уточняющее идею "означать одно и то же", мы будем называть эквивалентностью.

Суждения А и В называются эквивалентными, если они принимают одно и то же значение во всех строках построенной дйя них совместно таблицы.

Мы будем следующим образом обозначать эквивалентность суждений А и В:

А~В.

Так, если обобщить разобранный нами ранее случай при помощи метапеременных, то мы получим следующую эквивалентность:

~

Рассмотрим еще один диалог:

Отец: Если ты будешь с ним встречаться, то я лишу тебя наследства.

Дочь: Нет, ни за что!"

Что хочет сказать дочь своим отказом?

Суждение, которое высказывает отец, можно записать в следующей форме: p®q, где p - "Ты будешь с ним встречаться", q - "Я лишу тебя наследства".

Дочь отрицает это суждение, т.е. утверждает, . Что же это означает? Построим таблицу для .

p	q
И	И		И	Л
И	Л		Л	И
Л	И		И	Л
Л	Л		И	Л

Какое более понятное суждение эквивалентно данному? Попробуем .

p	q
И	И		Л	Л
И	Л		И	И
Л	И		Л	Л
Л	Л		И	Л

Получается, что второе суждение имеет те же самые значения, что и первое, а следовательно, суждение эквивалентно суждению , а это означает, что Дочь на самом деле утверждает следующее: "Я буду с ним встречаться, и ты не лишишь меня наследства".

Как мы видим, отношение эквивалентности дает нам в руки мощный аппарат выявления смысла выражений естественного языка, у которых точно выяснена логическая форма.

В чем же важность отношения эквивалентности? В том, что оно позволяет нам выделить суждения, которые имеют различные смыслы, но одинаковые значения, т.е. являются различными формами выражения одного и того же содержания.

Пояснение. Все логически истинные (и, соответственно, логические ложные) суждения эквивалентны друг другу.

б) Дополнительность

Представьте себе, что Ваш приятель рассказывает такую историю: "Слушай, что со мной было! Я вчера пообещал своему преподавателю, что пойду к нему на лекцию по логике. А своей подруге пообещал, что если я с утра пойду на лекцию по логике, то вечером пойду с ней в кино. И представляешь, я оба обещания не сдержал". Что бы Вы сказали о Вашем приятеле? Мне трудно представить, что Вы думаете, поэтому давайте проанализируем его слова. Обозначим суждения "Я пойду на лекцию по логике" через p, а суждение "Я пойду с тобой в кино" - через q. Тогда он утверждает, что и суждение p и суждение p→q одновременно ложны. Проверим это его утверждение и построим таблицу:

p	q		p
И	И		И	И
И	Л		И	Л
Л	И		Л	И
Л	Л		Л	И

Что мы узнали о Вашем приятеле? Что он отчаянный лжец. Он обманул не ролько профессора и подругу, но и Вас. Два суждения, высказанные им, не могут быть одновременно ложны, и следовательно, два его обещания нельзя не сдержать одновременно.

Такое отношение между суждениями называется дополнительность.

Суждения А и В назовем дополнительными, если в построенной для них совместно таблице не встречается комбинация значений (Л Л), но встречаются все остальные возможные комбинации их значений.

Главная черта дополнительных суждений - это то, что они не могут быть одновременно ложными.

Пример. Рассмотрим сложные суждения и

p	q
И	И		Л	И
И	Л		И	И
Л	И		И	И
Л	Л		И	Л

Эти суждения находятся в отношении дополнительности, так как они могут быть вместе истинными, но не могут быть вместе ложными.

3. Отношение логического следования

Предположим, что ваш приятель дал вам обещание: "Завтра я не пойду на лекцию по логике, но пойду с тобой в кино".

Логическая форма этого суждения .

К каким еще обещаниям вынуждает его это обещание[47]? Что вынуждает его сделать данное обещание? Или точнее, что он может еще пообещать, чтобы не могло получиться так, что первое обещание он сдержал, а второе не сдержал?

Очевидно, что .

Очевидно, что q .

А какие еще более сложные?

Например, обязывает ли его данное обещание к следующему обещанию: (а) "Если я не пойду на лекцию по логике, то пойду с тобой в кино". Или (б) "Если я не пойду на лекцию по логике, то не пойду с тобой в кинм".

(а) имеет форму .

(б) имеет форму .

Проверим по таблице.

p	q
И	И		Л	И	И
И	Л		Л	И	И
Л	И		И	И	Л
Л	Л		Л	Л	И

Очевидно, что он может смело давать обещание (а), поскольку в случае истинности , также истинно. Но нельзя без риска давать обещание (б), так как может сложиться такая ситуация, когда его первое общение выполнено, а обещание (б) - нет, поскольку в третьей строке таблицы истинно, а суждение ложно.

Такого рода отношение между суждениями называются отношением логического следования.

Суждения А и В находятся в отношении логического следования, если не может быть так, чтобы первое суждение было истинно, а второе - ложно.

Иначе говоря, суждения А и В находятся в отношении логического следования, если из истинности А обязательно вытекает истинность В. Отношение логического следования самое вадное отношение в логике. Один неизвестный автор конца ХХ века придумал такой девиз для логиков: "Логикам следует как следует следование исследовать!" Для этого отношения в логике ввели специальный знак.

Отношение логического следования между суждениями А и В будем обозначать

А╞В.

Отношение логического следования столь важно для логики, потому что, как мы увидим в дальнейшем, посылки и заключение правильных дедуктивных умозаключений находятся в отношении логического следования.

Пример

p	q
И	И		Л	Л
И	Л		Л	Л
Л	И		Л	И
Л	Л		И	И

Мы видим, что случай, когда первое суждение истинно, а второе ложно, отсутствует в таблице, а значит, всякий раз, когда первое суждение истинно, истинно и второе суждение. Эти суждения находятся в отношении логического следования, т.е. . Позже мы увидим, что приведенное логическое следование соответствует одному из важнейших типов умозаключений - условно-категорическому.

Несовместимость

Отношение несовместимости сводится к двум типам: а) противоречию и б) противоположности.

а) Противоречие

Рассмотрим ситуацию спора. Ваш оппонент придерживается мнения о том, что "Наполеон - великий человек, и прекрасно все то, что он совершил". Вам необходимо опровергнуть Вашего оппонента. Какое же суждение вам следует доказать, чтобы Ваш оппонент был опровергнут по всем пунктам? Пойдет ли такое: "Наполеон - не великий человек, и не является прекрасным все то, что он совершил". Возможно, что этого достаточно для опровержения Вашего оппонента. Но так ли легко это доказать, особенно ту часть, что Наполеон - не великий человек? Чтобы ответить на этот вопрос, нам надо рассмотреть отношение противоречия, ибо точное отрицание некоторого суждения как раз и дает нам отношение противоречия.

Суждения А и В находятся в отношении противоречия, если они не могут быть ни вместе истинными, ни вместе ложными.

Нам осталось выяснить, какое же суждение будет находиться к суждению Аашего оппонента в отношении противоречия. Проверим то суждение, которое было предложено выше. Обозначим "Наполеон - великий человек" через p, а "Прекрасно все то, что он совершил" через q. Тогда первое суждение запишем как , второе – как .

Построим таблицу.

p	q
И	И		И	Л
И	Л		Л	Л
Л	И		Л	Л
Л	Л		Л	И

Как мы видим, эти суждения не могут быть вместе истинными, но могут быть вместе ложными. Отсюда и возникает впечатление того, что такое суждение требует от нас слишком много. Попробуем суждение формы .

p	q
И	И		И	Л
И	Л		Л	И
Л	И		Л	И
Л	Л		Л	И

Мы видим, что суждение находится с суждением в отношении противоречия. Поэтому в нашем споре следует придерживаться следующей стратегии - выдвинуть в противовес нашему сопернику суждение "Наполеон - не великий человек, или не прекрасно все то, что он совершил". Это суждение доказать уже намного легче, поскольку для этого достаточно доказать, что не все, что сделал Наполеон, прекрасно.

Таким образом, мы с вами убедились в следующем положении:

Выбирая оптимальную стратегию спора, следует руководствоваться отношением противоречия.

Отношение противоречия - важнейшее отношение в логике, сравнимое по своему значению только с отношением логического следования. Рассматривая таблицу, характеризующую отношение противоречивых суждений, мы можем установить такую закономерность: если суждение А находится в отношении противоречия к суждению B, то B представляет собой отрицание А, т.е. , а .

Пояснение. Каждое логически истинное суждение находится в отношении противоречия к каждому логически ложному.

б) Противоположность

Иногда возникает задача обнаружения суждения не только исключающего истинность данного суждения, но и утверждающего нечто сверх этого. В таком случае можно прибегнуть к отношению противоположности.

Суждения А и В находятся в отношении противоположности, если в построенной для них совместно таблице не встречается комбинации значений (И И), но встречаются все остальные возможные комбинации.

Пример. Когда мы искали суждение, находящееся в отношении противоречия к , то рассматривали случай . Это был случай отношения противоположности. Взгляд на таблицу покажет Вам, что эти суждения могут быть вместе ложными, но не могут быть вместе истинными.

В результате мы имеем следующую кйассификацию отношений между сложными суждениями.

Рис. 3

Общее замечание. Навык обращения с различными отношениями между суждениями позволяет нам в общении, например, в споре легко находить суждения, следующие из данных, суждения, противоречащие им, и т.д. А это необходимо для развития аргументов в пользу своего тезиса и критики чужих тезисов и аргументов.

ГЛАВА 8

ЗАКОНЫ ЛОГИКИ

§ 1. Общая характеристика

В логике XX века ствердился взгляд, согласно которому закон логики описывает такие связи между суждениями, при которых получающееся сложное суждение истинно независимо от того, о чем говорят сами эти суждения: о столах, стульях, электронах, доброте, самопожертвовании, импрессионизме и т.п. Это положение можно выразить еще и следующим образом:

Законы логики — это такие суждения, которые являются истинными только в силу своей логической формы, т.е. только на основании связи составляющих их суждений.

Я думаю, что вы уже связали такое истолкование законов логики с хорошо известной вам темой: таблицами истинности. Действительно, именно разбирая таблицы истинности, мы встретились с суждениями истинными независимо от значений, принимаемых составляющими их простыми суждениями. Отсюда новое определение закона логики:

Закон логики — сложное суждение, которое во всех строках построенной для него таблицы принимает значение «истина».

Табличный метод позволяет выбрать среди всех суждений те суждения, которые являются логически истинными или логическими законами. Правда, этот метод очень непроизводителен и на основе его трудно построить метод систематического перечисления всех логических законов логики суждений. Поэтому в логике изобретены другие методы обнаружения логических законов. Это аксиоматические системы по типу той, что изобрел когда-то Евклид, системы натурального вывода, таблицы Бета, названные так по имени их изобретателя, голландского логика Эверта Бета, аналитические таблицы и многое другое. Однако все это находится за пределами нашего рассмотрения.

Если вспомнить материал, который мы с вами изучали в § 3 главы 6, то получится, что определение закона логики совпадает с определением логически истинного суждения. А это означает, что понятия логического закона и логически истинного суждения равнозначны. Таким образом смотрит на законы логики классическая логика XX века. Однако есть еще более традиционный взгляд на законы логики, который дошел к нам из глубины веков, но не утратил до сих пор своего интереса. Я имею в виду взгляд на законы логики как на выражение существенных свойств человеческого мышления. Этот взгляд под названием психологизма был подвергнут жесткой критике в философии логики XX века, однако до сих пор большинство людей полагает ценность логики в том, что она способна помочь правильно мыслить, т.е. мыслить в соответствии с логическими законами. Поэтому мы рассмотрим этот более традиционный взгляд на логические законы.

Законы — это основные истины теорий, формулируемых в той или иной науке. Как и любая другая наука, логика формулирует свои законы, только законы эти особые. Они, с одной стороны, похожи на законы науки тем, что описывают основные свойства мышления, а, с другой стороны, похожи на законы права или нравственности тем, что формулируют основные требования к правильному мышлению. Таким образом, логические законы — это как бы дважды законы. Они одновременно описывают и предписывают.

До сих пор мы с вами говорили о правилах и требованиях. Вспомните, например, наши правила-требования к определениям или делениям понятий. Теперь пора ввести и понятие закона логики, тем более, что в этой главе мы уже ввели все необходимые для этого понятия.

Каковы же основные требования к мышлению, которые предъявляются логическими законами? Перечислим их:

1. Непротиворечивость.

2. Последовательность.

3. Определенность.

4. Обоснованность.

Любой непредубежденный наблюдатель скажет, что лучше мыслить непротиворечиво, последовательно, определенно и обоснованно, чем противоречиво, непоследовательно, неопределенно и необоснованно. По крайней мере, если имеют в виду достижение истины. Если не преследовать эту цель, то, возможно, непротиворечивость, последовательность, определенность и обоснованность станут излишними. Но не за этим мы с вами взялись изучать логику.

Рассмотрим эти свойства по отдельности.

§ 2. Закон непротиворечия

Свойству непротиворечивости мышления соответствует закон непротиворечия, который иногда также называют законом противоречия, или законом запрета противоречия. Название этого закона подсказывает, что сначала нужно уяснить, что же такое противоречие.

Мы уже имели дело с противоречием, решая задачи о рыцарях и лжецах. Противоречие возникало в ходе решения этих задач, если одному и тому же предмету (например, туземцу) приписывались некоторый признак и его отрицание (например, лжец и не-лжец), или одно и то же суждение оценивалось одновременно как истинное и ложное (неистинное). Как мы видели в предыдущем параграфе, суждения находятся в отношении противоречия, если они не мобут быть одновременно истинны и ложны.

Отталкиваясь от отношения противоречия между суждениями, мы можем дать определение противоречия.

Пусть суждения A и B находятся в отношении противоречия. Тогда суждение A B будем называть противоречивым или противоречием.

Логический квадрат подсказывает нам, что противоречивы сужденияA O и E I.

Пример. Суждение «Все великие люди — низкого роста, и некоторые великие люди не являются людьми низкого росра» противоречиво.

Пример. «Все противоречивые суждения являются ложными, и некоторые противоречивые суждения не являются ложными» противоречивое суждение.

Пояснение. Суждение «Все великие люди — низкого роста, и ни один великий человек не является человеком низкого роста», строго говоря, не является противоречием, но противоречие может быть легко из него получено, поскольку из суждения «Ни один великий человек не является человеком низкого роста» логически следует суждение «Некоторые великие люди не являюрся людьми низкого роста». А если это суждение соединить при помощи союза «и» с первым суждением, то получится противоречие.

Таблицы истинности и отношения между сложными суждениями подсказывают нам, что противоречивым будет суждение вида (p q) ( Ú ).

Пример. Суждение «Я пойду на лекцию по логике и поеду с тобой на море, и я не пойду на лекцию по логике или не поеду с тобой на море» — противоречиво.

Однако мы видим, чтм противоречивое суждение, составленное из сложных суждений, находящихся в отношении противоречия, получается очень сложным, и с первого взгляда в нем трудно узнать противоречие. Поэтому в логике была выведена формула противоречия. Собственно говоря, противоречие заключается в том, что одному и тому же объекту в одно и то же время приписывается некоторый признак и его отрицание. Если вспомнить наше определение суждения, то мы сможем сказать, что противоречие возникает там, тогда и постольку, где, когда и поскольку одно и то же суждение одновременно утверждается и отрицается. Связь одновременного утверждения передается при помощи логического союза «и» — конъюнкции. Отсюда формула противоречия:

A

Пример. Суждения формы (p q) , (p q) , (p®q) являются противоречиями.

Пример. Если в наших задачах о рыцарях и лжецах обозначить суждение «X — рыцарь» через p, а суждение «Х — не рыцарь» через , то суждение «Х — рыцарь и не рыцарь» будет представлять собой пример формулы противоречия p .

И так во всех случаях противоречивых суждений.

Почему же противоречие в мышлении плохо? Почему его появление свидетельствует о неправильности нашего мышления, тупиковости того пути, по которому мы пошли?

Ответ на этот вопрос дают нам таблицы истинности, Построим таблицу истинности для формулы противоречия.

A			A
И		Л	Л
Л		И	Л

Иначе говоря, какое бы значение ни принимали составляющие противоречие суждения, противоречие всегда будет принимать значение «ложь». Если в нашем мышлении возникло противоречие, это означает, что мышление вышло на такой путь, на любых продолжениях которого нас ждет ложь. Если мы заинтересованы в истине, мы должны вернуться назад, устранить те предпосылки, котмрые привели нас к противоречию, и только потом двигаться дальше. Тогда мы сохраняем шансы на истину. Сохранять обнаруженное противоречие можно лишь в том случае, если мы заинтересованы не в истине, а в чем-либо другом — успехе, создании иллюзий, власти над умами, манипуляции людьми и т.п.

Устранение противоречия из нашего мышления, рассуждений, теорий основывается на логическом законе. И раз противоречие недопустимо в нашем мышлении, то это должен быть закон непротиворечия:

Суждение и его отрицание не мобут быть вместе истинными.

Формула закона непротиворечия такова:

(читается: неверно, что A и не-A).

В классической логике логическим законом является суждение следующего вида: (A )®B. Он обычно называется законом Дунса Скотта — по имени знаменитого средневекового логика и философа. Поскольку в качестве B здесь может выступать произвольное суждение, эту формулу можно проинтерпретировать следующим образом: из противоречия следует все, что угодно. Эта формула объясняет, почему противоречие бывает принимать выгодно. Действительно, стоит нам только принять противоречие, проигнорировать закон непротиворечия, то для нас становится допустимым принятие всего, что нам угодно, а значит и того, что мы никакими способами раньше обосновать не могли.

Пример. Если мы говорим, что государство отмирает путем его укрепления, это означает, что мы можем сказать о государстве все, что угодно, т.е. в каждый данный момент говорить то, что нам выгодно. Если нам надо отменить какой-нибудь государственный институт, то мы говорим, что государство в полном соответствии с нашей концепцией отмирает. А если нам надо укрепить какой-нибудь государственный институт или ввести новый, мы говорим, что государство в полном соответствии в нашей концепцией укрепляется. С этой концепцией только одна проблема - с ее помощью можно обосновать все, что угодно.

Пример. Пусть мы согласны с Иисусом Христом, сказавшим: «И как хотите, чтобы с вами поступали люди, так и вы поступайте с ними». И вместе с тем, согласны с Бернардом Шоу: «Не делайте людям того, что вы бы хотели, чтобы сделали вам, у них могут оказаться другие вкусы». Если вы принимаете обе эти нормы, которые явно противоречат друг другу, то ваше положение становится очень удобным: в одном случае вы в обоснование своих поступков приводите формулу Христа, а в другом — формулу Бернарда Шоу. Только об истине и нравственности больше говорить не приходится.

Древнеримский философ Эпиктет говорил: «Всякая обладающая разумом душа по природе неприязненно относится к противоречию». Чувство неприемлемости противоречия — важный показатель культуры и образованности человека. В одном из своих романов Жорж Сименон приводит рассуждение своего любимого героя комиссара Мегре. Мегре говорит сам себе, что следователю легче иметь дело с интеллигентными образованными людьми, потому, что, допустив противоречие в своих показаниях и чувствуя, что это ставит их показания под сомнение, они пытаются объяснить это противоречие и придумывают новую ложь, в которой их легче уличить. Простой необразованный человек, допустив противоречие и не ощущая его разрушительной силы, спокойно стоит на своем, ничего не выдумывая. Поэтому следователю труднее поймать его на лжи.

На чувстве противоречия часто строятся анекдоты, пословицы, поговорки. Приведу некоторые поговорки, юмористический эффект которых основан на утверждении противоречия.

Не били, а только колотили.

Ей щенка, вишь, да чтоб не сукин сын.

Мерин гнед, а шерсти на нем нет.

Не украл, только так взял.

Не сжег, а спалил.

Не полсорока, а двадцать.

Это не он умер, а смерть его пришла.

Эти пословицы и поговорки основаны на нашем интуитивном чувстве неприемлемости противоречия. Утверждение противоречия входит в «противоречие» с этим нашим чувством. Наличие таких пословиц и поговорок в народной культуре говорит о том, что закон непротиворечия живет в наших душах, входя в них вместе с освоением культуры. Мы опять сталкиваемся с мольеровской «прозой». Дело логики заключается в том, чтобы выразить этот закон в точной форме, обосновать его и сделать сознательно применяемым.

Если построить таблицу для формулы закона непротиворечия, то мы получим:

A			A
И		Л	Л	И
Л		И	Л	И

Таким образом, мы убедились, что закон непротиворечия выражается суждением, истинным при любых значениях составляющих его суждений, а это означает, что он представляет собой логический закон в соответствии с его пониманием, принятым в классической логике XX века.

§ 3. Закон тождества

Часто говорят, что человек должен быть последовательным. Если ты принял какой-то тезис, мнение, установку, идеологию, то придерживайся именно того, что ты провозгласил, по крайней мере до тех пор, пока у тебя не возникли достаточные основания для изменения тезиса, мнения, установки, идеологии, о чем и следует объявить явно.

Основанием последовательности мышления является логический закон тождества:

Каждая мысль должна оставаться постоянной на протяжении всего рассуждения.

Мы с вами знаем два вида мыслей: понятия и суждения. Поэтому это требование нужно проинтерпретировать по отношению к каждой из этих мыслей отдельно.

Закон тождества по отношению к понятиям.

У понятияесть две логические характеристики: содержание и объем. Следовательно, закон тождества по отношению к понятиям можно проинтерпретировать следующим образом:

Используемые в данном рассуждении понятия должны оставаться постоянными по своему содержанию и объему на протяжении всего рассуждения.

Основное содержание понятия задается его определением. Поэтому в требование закона тождества входит: а) требование определять используемые понятия и б) на протяжении всего рассуждения придерживаться данного определения понятия.

Пример. Допустим, что мы в начале рассуждения определили, что великий человек — это человек, содействовавший прогрессу человечества. Тогда если где-нибудь в нашем рассуждении зайдет речь о Наполеоне, Гитлере или Сталине и мы с вами будем считать,­ что они не содействовали прогрессу человечества, то нам придерся от­казать им в праве быть великими людьми. Наше определение должно сохраняться постоянным на протяжении всего рассуждения,­ независимо от тех конкретных случаев, которые нам могут встретиться в ходе рассуждения. Если же нам дороже признание Наполеона, Гитлера или Сталина великими людьми, то нам, в соответствии с законом тождества, придется явным образом изменить свое определение (например, великий человек – это человек, оказавший влияние на направление или характер движения человечества) и начать новое рассуждение, на протяжении которого наше (новое) определение также должно оставаться неизменным.

Объем понятия — это множество объектов, мыслимых в понятии. Следовательно, согласно закону тождества, мы должны на протяжении всего рассуждения иметь в виду одно и то же множество объектов.

Требование соблюдения постоянства объема обсуждаемого понятия включается тогда, когда мы по каким-то причинам не можем определить это понятие. Во-первых, вообще не все понятия поддаются определению. Это мы разбирали в главе 6, Во-вторых, определения дело громоздкое и для многих понятий, используемых в рассуждении, не удается дать явных определений. Поэтому приходится пользоваться их интуитивными образами. Надо только четко себе отдавать отчет, какой круг предметов входит в объем данного понятия, и стараться, чтобы это множество предметов на протяжении всего рассуждения оставалось неизменным.

Пример. Обсуждая суждение «Все люди имеют преступные наклонности», мы можем не определять явно, что такое человек. Но при этом мы четко дойжны представлять, что же имеем в виду, высказывая этот тезис. Так, мы должны установить, включаем ли мы в объем понятия человека:

а) всех представителей вида homo sapiens;

б) психически нормальных представителей этого вида;

в) взрослых и подростков;

г) Иисуса Христа, Будду.

И если мы приняли что-то из этого списка, то не изменять объ­ема используемого понятия на протяжении всего рассуждения и­ не говорить в ответ на опровержения, что мы, конечно, не имели в­ виду Иисуса Христа или детей до 6 месяцев. Мысль по своему объ­ему должна быть фиксированной на протяжении всего рассуж­дения.­

Закон тождества по отношению к суждениям.

Суждение обладает двумя характеристиками: логической формой и истинностным значением. Закон тождества, следовательно, распространяется на эти характеристики суждений.

К логической форме простых суждений относится их количество и качество. Логическую форму сложных суждений характеризуют логические союзы, которые связывают простые суждения и составляют из них сложные.

Поэтому закон тоддества по отношению к простым суждениям гласит:

Количество и качество принятого суждения должно оставаться неизменным на протяжении всего рассуждения.

Пример. Если вы доказываете суждение «Все люди обладают преступными наклонностями», то на протяжении всего доказательства следует придерживаться этого суждения в высказанной форме, а не пытаться выдать за его доказательство обоснование суждения: «Все (известные мне) люди обладают преступными наклонностями». Это — нарушение закона тождества, а следовательнм, логическая ошибка, называемая подменой тезиса (она называется подменой тезиса и подробнее будет рассмотрена в гл. 13).

По отношению к сложным суждениям закон тождества будет выглядеть следующим образом:

Логические связи в принятом суждении должны оставаться постоянными на протяжении всего рассуждения.

Пример. Если вы утверждаете, что «Реформы и экономический спад всегда сопровождают друг друга», т.е., если уточнить логическую форму высказываете суждение эквивалентности: «Реформы происходят тогда и ролько тогда, когда бывает экономический спад», то после критики этого тезиса не говорите, что вы имели в виду «Если есть реформы, то наблюдается и экономический спад», поскольку второе суждение доказать явно легче, чем первое. Это также нарушение закона тождества и логическая ошибка — подмена тезиса.

Таким образом, мы видим, что закон тождества является основанием постоянства убеждений и этических норм в спорах. Если ты принял какую-то мысль или обещал ее доказать, то обязан на протяжении всего своего рассуждения иметь дело именно с этой мыслью. Если же эта мысль по каким-либо основаниям стала для тебя в данной форме неприемлемой, то скажи об этом явно и начни новое рассуждение с новой мыслью в основе.

Если же закон тождества не соблюдается и допускаются бессознательная или намеренная замена одной мысли другой, в той или иной степени похожей на первую, то мы попадаем в ситуацию «кота в мешке» или ситуацию, которую в классической древности называли «Deus ex mashina» — «Бог из машины». В античных пьесах, когда герои и автор пьесы окончательно запутывались в своих отношениях, на специальной машине поднимали актера, исполнявшего роль Бога, который и разрешал чудесным образом все завязавшиеся проблемы. Мышление, не стремящееся к соблюдению закона тождества, непредсказуемо. Человек, не соблюдающий закона тождества, подобен фокуснику, который закладывает в цилиндр цветную ленту, а вынимает оттуда живую змею. Это забавно, но не знаю, хотели ли бы вы иметь с таким человеком дело, например, в переговорах, публичной или научной дискуссии и других видах деятельности, требующих рационального мышления.

В классической логике XX века закон тождества обычно выражается краткой формулой:

A®A

или

AºA

Эти формулы читаются: «Если A, то A» и «A эквивалентно A», соответственно. Если мы построим для них таблицы истинности, то убедимся, что это — логические законы:

§4. Закон исключенного третьего

В ходе мышления часто возникают взаимоисключающие суждения об одном и том же предмете. Определенность мышления требует, чтобы мы из множества взаимоисключающих возможностей, которые обычно называют альтернативами, выбирали в каждый данный момент только одну и считали ее истинной или испытывали на истинность. Относительно каждого отдельного поступка человека можно сказать, что он а) нравственный, б) безнравственный, в) нравственно безразличный. Определенность мышления требует от нас выбрать одну из этих альтернатив и придерживаться ее на протяжении нашего рассуждения. И запрещает нам считать, что этот поступок в одном отношении нравственный, в другом — нравственно безразличный (или безнравственный).

Традиционная логика сводит эту определенность мышления к ее идеализированному крайнему случаю — выбору между двумя суждениями, находящимися в отношении противоречия. Такому свойству определенности мышления и соответствует закон исключенного третьего:

В каждом данном рассуждении из двух противоречащих друг другу суждений следует считать истинным только одно.

Иногда закон исключенного третьего формулируют в таком виде: каждое суждение йибо истинно, либо ложно. Эта формулировка больше похожа на принцип двузначности, т.е. запрета других истинностных значений, кроме истины и ложности, так как даны только две возможности и третьего не дано. Отсюда и название этого закона: закон исключенного третьего и его латинская формулировка: tertium non datur — третьего не дано.

Название закона достаточно точно передает его смысл: мир таков, как описывается в данном суждении, или таков, как описывается в его отрицании, и третьей возможности нет.

В классихеской логике XX века закон исключенного третьего принято передавать в следующей форме:

AÚ

Таблица для этого суждения будет выглядеть так:

A			AÚ
И		Л	И
Л		И	И

Таким образом, мы убедились, что закон исключенного третьего также является логическим законом.

Закон исключенного третьего играет важную роль в рассуждениях. Решая задачи о рыцарях и лжецах, мы с вами неявно использовали закон исключенного третьего. Действительно, когда нам удавалось доказать, что суждение о том, что, например, X является рыцарем, ложно, то мы почему-то были уверены, что суждение «X является лжецом» истинно. На каком основании? Именно на основании закона исключенного третьего, согласно которому одно из двух противоречивых суждений истинно, мы заключаем, что суждение «A является лжецом» истинно.

Такая роль закона исключенного третьего позволяет нам выявить его роль в известных вам из математики доказательствах от противного. Действительно, в доказательствах от прмтивного мы, чтобы доказать суждение (теорему) A, на некоторое время допускаем суждение, противоречащее A, т.е. , и затем тем или иным способом доказываем, что ложно. Из этого мы на основании закона исключенного третьего заключаем, что A истинно. Парадоксальным образом именно эта важная роль закона исключенного третьего отрицательно сказалась на его судьбе. Дело в том, что в классическом математическом анализе многие теоремы, особенно так называемые теоремы существования, доказывались при помощи доказательств от противного. Если речь шла о существовании некоторого объекта, например, функции, то предполагалось, что данного объекта не существует, а потом из этого предположения выводилось противоречие. Таким образом, доказывалась ложность предположения о несуществовании данного объекта, из чего по закону исключенного третьего выводилась истинность суждения о существовании данного объекта, т.е. исходная теорема. Однако это доказательство не помогало построить саму этс функцию из других более элементарных, не давало метода построения исследуемого объекта, и следовательно, не было интуитивно убедительным. Отсюда и родились два направления в основаниях математики, которые так или иначе отвергали закон исключенного третьего — интуиционизм и конструктивизм.

Другая линия критики закона исключенного третьего исходила из философских соображений. Я имею в виду попытку построения в начале нашего века русским логиком Н.А. Васильевым «воображаемой», или неаристотелевской логики, иоторая послужила прототипом современных паранепротиворечивых логик, в которых исследуются способы обращения с противоречивыми суждениями. Н.А. Васильев считал, что в некоторых логиках вместо закона исключенного третьего должен действовать закон исключенного четвертого и т.д.

Однако критика этого закона со стороны интуиционистов вызвала сопротивление со стороны более «классически» настроенных математиков, вставших на защиту закона исключенного третьего. Так, знаменитый немецкий математик Давид Гильберт писай: «Отнять у математиков закон исключенного третьего — это то же, что забрать у астрономов телескоп или запретить боксерам пользоваться кулаками».

В рамках классической логики закон исключенного третьего остается важным принципом, описывающим в идеализированной форме одну из самых важных закономерностей мышления — его определенность.

§ 5. Закон достаточного основания

В науке, философии, этике, обычной жизни мы, как правило, стремимся к тому, чтобы наши суждения были обоснованы. Мы не верим прогнозам политологов или метеорологов, считая их не