Додавання і віднімання додатних дійсних чисел.
4. Відповідно до вимог розширення множини раціональних чисел ми повинні ввести правила додавання, віднімання, множення і ділення дійсних чисел так, щоб вони не суперечили відповідним правилам виконання цих дій над раціональними числами. Враховуючи це зауваження, введемо означення суми, різниці, добутку та частки дійсних чисел.
Означення: сумою двох дійсних чисел одного знаку називається сума їх модулів, взята з тим самим знаком, які мають обидва доданки.
Означення: сумою двох дійсних чисел з різними знаками називається різниця між більшим і меншим модулем даних чисел, взята із знаком числа, модуль якого більший.
Означення:сума двох протилежних дійсних чисел дорівнює нулю, тобто а+(-а)=0.
Означення:сума двох дійсних чисел, одне з яких нуль, дорівнює другому доданку, тобто а+0=0+а=а.
Вправа:знайдіть суму чисел: 1) Ö3 і Ö5; 2) Ö3 і -Ö5; 3) -Ö3 і Ö5; 4) -Ö12 і -Ö17; 5) 0,121121112… і -0,343343334…
Розв’язання.
Оскільки у першому випадку обидва числа додатні, то маємо Ö3+Ö5. У другому випадку маємо числа різних знаків, а тому Ö3+(-Ö5)=-(│-Ö5│-│Ö3│)=-(Ö5-Ö3). У третьому випадку маємо -Ö3+Ö5=+(│Ö5│-│-Ö3│)=Ö5-Ö3. Для п’ятого випадку маємо: 0,121121112…+(-0,343343334…)=-(│-0,343343334…│-│0,121121112…│)=-(0,343343334…-0,121121112…)=-0,222…=-0,(2)= - .
Введені означення суми дійсних чисел можна поширити на випадок будь-якої скінченної кількості доданків, але як виконувати за цими означеннями дії не зовсім зрозуміло. Саме тому спочатку введемо поняття наближеного значення нескінченного неперіодичного десяткового дробу з недостачею та з надлишком, а потім відповідні правила виконання дій. Нехай маємо дійсне число α=0,232232223… Тоді значеннями цього нескінченного неперіодичного десяткового дробу з недостачею з точністю, до цілих, десятих, сотих тощо будуть такі значення 0; 0,2; 0,23; 0,232…, а з надлишком – 1; 0,3; 0,24; 0,233 … Записати це можна за допомогою наступних подвійних нерівностей:
0≤α≤1
0,2≤α ≤0.3
0,23≤α≤0,24
…
αn′≤α≤αn′′
…
У цих записах αn′- це значення дійсного числа α з недостачею, а αn′′ - це значення дійсного числа α з надлишком.
Розглянемо два дійсних числа αі β з їхніми відповідними наближеннями αn′≤αn≤αn′′ і βn′≤βn≤βn′′. При розгляді властивостей числових нерівностей ми довели теорему про додавання нерівностей однакового смислу. Саме тому можна стверджувати справедливість наступної нерівності: αn′+βn′≤αn+βn≤αn′′+βn′′, яка дозволяє сформулювати наступне правило додавання дійсних чисел.
Правило: сума двох дійсних чисел α і β більша або дорівнює значення суми десяткових наближень цих чисел, взятих з недостачею та менша або дорівнює значення суми десяткових наближень цих чисел, взятих з надлишком.
Символічно маємо таку нерівність: αn′+βn′≤αn+βn≤αn′′+βn′′. Це правило можна поширити на будь-яку скінченну кількість доданків. Проілюструємо застосування цього правила на наступних прикладах.
Вправа:знайти суму дійсних чисел α=0,121121112… і β=1,242242224… з точністю до: а) цілих; б) десятих; в) сотих; г) тисячних.
Розв’язання.
Десятковим наближенням числа α до тисячних з недостачею буде 0,121, а з надлишком – 0,122. Для числа β будемо відповідно мати 1,242 і 1,243. Тепер можна за сформульованим правилом визначити значення суми чисел α і β з точністю до тисячних: 0,121+1,242≤α+β≤0,122+1,243. Отже, 1,363≤α+β≤1,365. Решту випадків пропонуємо студентам розглянути самостійно.
Виходячи із означення суми дійсних чисел легко довести справедливість такої теореми.
Теорема:сума дійсних чисел існує, єдина та підкоряється комутативному та асоціативному законам.
Символічно цю теорему можна записати так: 1) ("α,βєR)($!γєR)(α+β=γ); 2) ("α,βєR)(α+β=β+α); 3) ("α,β,γєR)((α+β)+γ=α+(β+γ)).
Означення:різницею двох дійсних чисел α і β називають таке третє дійсне число γ, яке в сумі з числом β дає число α.
Символічно це означення можна записати так: (γ=α-β)↔(β+γ=α). Легко довести справедливість такої теореми та переконатися у справедливості наступного правила.
Теорема: різниця двох дійсних чисел завжди існує та єдина.
Правило:щоб знайти різницю двох дійсних чисел потрібно до зменшуваного додати число протилежне від'ємнику.
Символічно це виглядає так α-β=α+(-β). Наприклад: Ö5-Ö3=Ö5+(-Ö3). Для практичного виконання віднімання дійсних чисел, які виражені нескінченними неперіодичними десятковими дробами, використовують їхні десяткові наближення. Як відомо, нерівності протилежного смислу можна почленно віднімати, а тому з αn′≤αn≤αn′′ і βn′≤βn≤βn′′, помноживши другу нерівність на -1, маємо: αn′≤αn≤αn′′ і -βn′′≤-βn≤-βn′. Тепер αn′-βn′′≤αn-βn≤αn′′-βn′.
Правило: різниця двох дійсних чисел α і β більша або дорівнює різниці числа α з недостачею та числа β з надлишком і менша або дорівнює різниці числа α з надлишком і числа β з недостачею.
Символічно це означення записується так: αn′-βn′′≤αn-βn≤αn′′-βn. Застосування правила покажемо на наступному прикладі.
Вправа: знайти різницю чисел Ö3 і Ö2 з точністю до: а) цілих; б) десятих; в) сотих.
Розв’язання.
Оскільки Ö3=1,7320508… і Ö2=1,4142135…, то знайдемо десяткові наближення цих чисел з точністю до сотих. Маємо 1,73≤Ö3≤1,74 і 1,41≤Ö2≤1,42. Тоді 1,73-1,42≤Ö3-Ö2≤1,74-1,41. Отже, 0,31≤Ö3-Ö2≤0,33. Випадки а) і б) пропонуємо студентам розглянути самостійно.
Дата добавления: 2015-11-04; просмотров: 2203;