Минимаксные критерии

В теории векторной оптимизации особое место занимает принцип компромисса, основанный на идее равномерности. На основе этого принципа составлены минимаксные (максиминные) критерии.

Сущность принципа максимума заключается в следующем. При создании ВС и наличии большого числа частных критериев довольно трудно, а порой и невозможно установить аналитическую зависимость между критериями. Поэтому, основываясь на идее равномерного компромисса, стараются найти такие значения переменных проектирования , при которых нормированные значения всех частных критериев становятся равными между собой, т. е. , . С учетом весовых коэффициентов важности частных критериев выражения трансформируются в соотношения вида ,

При большом числе частных критериев из-за сложных взаимосвязей иногда трудно добиться соотношений указанных выше. Тогда применяют принцип максимина, заключающийся в такой вариации значений переменных проектирования X, при которой последовательно повышаются те нормированные критерии, численные значения которых в исходном решении оказались наименьшими. Завышение одного критерия неизбежно приводит к снижению значений части остальных критериев. Но при проведении ряда операций можно добиться определенной степени уравнивания противоречивых (конфликтных) частных критериев, что и является целью принципа максимина.

Принцип максимина формулируется следующим образом: необходимо выбрать такое , на котором реализуется максимум из минимальных значений частных критериев, т. е.

.

Такой принцип выбора иногда носит название принципа «гарантированного результата». Он заимствован из теории игр, где, по существу, является основным принципом.

Если частные критерии следует минимизировать, то самым «отстающим» критерием является тот, который принимает максимальное значение. В этом случае принцип равномерной компенсации формулируется в виде минимаксной задачи:

Геометрическая интерпретация принципа минимакса заключается в следующем. Пусть проектируется некоторый объект по п частным критериям . Каждый вариант объекта представлен в пространстве в виде точки с координатами , а множество вариантов может быть отражено в конечное множество точек , заключенное в выпуклую оболочку s(A). Т. е. область принятия решений при проектировании ограничена выпуклой оболочкой s(A) в пространстве (рис. 3.17).

а – множество вариантов б – ограничение вариантов, в – область принятия
объектов, решений

Пусть все частные критерии минимизируются. Тогда областью компромисса является левая нижняя граница выпуклой оболочки S(A), а решение должно находиться в области компромисса. В общем случае при неравнозначных критериях решение на основе принципа равномерной компенсации будет соответствовать точке , лежащей в области компромисса, для которой будут удовлетворяться соотношения

Направление, определяемое вектором , задается в первом октанте в пространстве Произвольный вектор весовых коэффициентов С позволяет отдавать предпочтение друг перед другом частным критериям , выраженным в количественной шкале.

Выводы по выбору критериев оптимальности заключаются в следующем:

1) Выбор критерия может производиться неоднозначно. Источником сложности служит противоречивость целей (стоимость и надежность функционирования, энергоемкость и производительность, объем ЗУ и скорость считывания всегда будут находиться в противоречии друг с другом).

2) Если требуется оптимизировать один из параметров при соблюдении ограничительных требований на остальные параметры, то формируется частный критерий F(X).

3) При наличии нескольких критериев оптимальности аддитивный критерий выбирают тогда, когда существенное значение имеют абсолютные величины критериев при выбранном векторе параметров X.

4) Если существенную роль играют изменения абсолютных величин — частных критериев при вариации вектора переменных X, то применяют мультипликативный критерий оптимальности.

5) Если стоит задача достижения равенства нормированных значений конфликтных частных критериев, то оптимальное проектирование выполняют по минимаксному критерию.