УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ ДЛЯ ОПРЕ- ДЕЛЕНИЯ СТАТИЧЕСКОГО И ДИНАМИЧЕСКОГО ДАВЛЕНИЙ

Пусть по наклонной трубе (или трубке тока) переменного сечения движется жидкость слева направо. Мысленно выделим область трубки, ограниченную сечениями S₁ и S₂ , в которых скорости течения `V<sub>1</sub> и ` V₂ , рис. 1 из предыдущего параграфа.

Определим изменение полной энергии, происходящее в этой области за малый промежуток времени Dt. За это время масса жидкости, заключенная между сечениями S₁¢ и S₁ втекает в рассматриваемую область, а масса, заключенная между S₂¢ и S₂ вытекает из нее. Иных изменений в данной области не происходит. Поэтому изменение полной энергии DЕ равно разности полных энергий вытекающей и втекающей масс:

DЕ = ( Е_к + Е_п)₂ – ( Е_к + Е_п) ₁ или (1)

DЕ = DmV₂²/2 + Dmgh₂ - DmV₁² - Dmgh₁ (2)

В соответствии с законом сохранения энергии найденное изменение энергии равно работе DА внешних сил (давления) по перемещению массы Dm:

DЕ = DА. (3)

Определим эту работу. Внешняя сила давления `F<sub>1</sub> совершает работу DА<sub>1</sub> по перемещению втекающей массы на пути V<sub>1</sub>Dt, в то же время вытекающая масса на пути V<sub>2</sub>Dt совершает DА<sub>2</sub> против внешней силы `F₂. Поэтому

DА₁ = F₁V₁Dt; DA₂ = - F₂V₂Dt («-» т.к. сила направлена против перемещения), а искомая работа

DА = DА₁ + DА₂ = F₁V₁Dt - F₂V₂Dt.

Учитывая, что F₁ = p₁S₁ и F₂ = p₂S₂ , получим

DА = p₁S₁ V₁Dt - p₂S₂ V₂Dt,

но S₁ V₁Dt =S₂ V₂Dt = DV, т.к. жидкость не сжимается.

Поэтому

DА = р₁DV – p₂DV (4)

Объединяя (2) и (4), получим

DmV₂²/2 + Dmgh₂ + p₂DV = DmV₁²/2 + Dmgh₁ + p₁DV |:DV

rV₂²/2 + rgh₂ + p₂ = rV₁²/2 + rgh₁ + p₁ . (Dm/DV =r)

Поскольку сечения S₁ и S₂ выбраны произвольно, можно окончательно написать

rV²/2 + rgh + p = const -уравнение Бернулли(5)

1700 – 1782г., петербургский академик.

rV²/2 –удельная кинетическая энергия жидкости

rgh – удельная потенциальная энергия жидкости

р - удельная энергия жидкости, обусл. силами давления

При установившемся движении идеальной несжимаемой жидкости сумма удельной энергии давления и кинетической и потенциальной удельных энергий остается постоянной на любом поперечном сечении потока.

Единицей давления 1 Па = 1Н/м² = 1 Н м/м³ = Дж/м³.

Следовательно, уравнение Бернулли выражает закон сохранения энергии (удельной).

Все члены (5) можно рассматривать как давления, причем р наз. статическим, rV²/2 –динамическим, rgh –гидравлическим давлением (напором).

Следовательно,

В установившемся потоке идеальной несжимаемой жидкости полное давление (напор) , слагающееся из динамичес-кого, гидравлического и статического давлений , постоянно на любом поперечном сечении потока (уравнение Бернулли).

Для горизонтальной трубки тока (h₁ = h₂) уравнение Бернулли примет вид

rV²/2 + p =const.

Из уравнений Бернулли и неразрывности следует, что в местах сужения трубопровода скорость течения жидкости возрастает, а статическое давление понижается. Уравнения (1) – (5) применимы и для газа, поскольку, как показывает теория и опыт, при скоростях движения газа, меньших скорости распространения звука в нем, сжимаемостью газа можно пренебречь.

Уравнение Бернулли является одним из основных законов механики движения жидкости и газов, имеющих большое прикладное значение. Примеры: 1) гидротурбина (потенциальная энергия давления воды в узком сопле переходит в кинетическую энергию, за счет которой рабочее колесо приводится во вращение) 2) гидротаран, 3)аэрация почвы, 4)карбюратор двигателей, 5) пульверизатор, 6)сталкивание двух параходов, близко идущих одним курсом.

Давление в движущейся жидкости можно измерить с помощью неподвижной манометрической трубки (зонд), если ее соприкасающееся с текущей жидкостью отверстие площади S ориентировано параллельно направлению движения жидкости, рис. 1.

- -

- S - h

- - - `F^¢ - - - -

`V - - - - - - -

Рис.1.

Действительно, элементарно тонкий слой жидкости в манометрической трубке, примыкающий к ее отверстию, находится в покое. Значит, сила давления F¢ =pS, действующая со стороны текущей жидкости, уравновешивается силой, с которой столб жидкости в трубке высотой h действует на него в противоположном направлении (вниз) и которая равна весу столба жидкости F = r ghS (внутри трубки, у ее закрытого конца, над поверхностью жидкости вакуум). Т.о.,

Р = rgh,

т.е. давление р в той точке потока жидкости, на уровне которой находится отверстие в манометрической трубке, равно весу столба жидкости, находящейся в трубке, площадь сечения которого равна единице.

Давление в движущейся жидкости в соответствии с законом Бернулли связано со скоростью ее частиц. В более широких участках трубки, где скорость жидкости мала, давление жидкости

будет по величине большим, чем в более узких участках той же трубки тока, где скорость жидкости больше (трубка Вентура).

Совсем другое давление будет измерять в движущейся жидкости неподвижная манометрическая трубка, изогнутая под прямым углом, так что ее отверстие, находящееся в жидкости, ориентировано навстречу потоку и его площадь перпендикулярна к линиям тока (трубка Пито), рис. 2.

h¢ h

- - - - - - - - - - - - -

`V P^¢ P - - - - -

- - - - - - - - - - -

Рис.2.

Пусть вдали от манометрической трубки давление и скорость жидкости равны р и V . В сечении же, совпадающем с отверстием манометрической трубки, скорость жидкости V = 0, т.к. жидкость, достигшая отверстия, здесь затормаживается. Обозначим давление в сечении отверстия р¢, то в соответствии с законом Бернулли для двух данных сечений трубки тока получим:

Р + rV²/2 = p¢, т.к. (h и h¢ равны). (6)

Возрастание давления у отверстия изогнутой трубки обусловливается сжатием затормаживаемой здесь жидкости. Из (6) можно определить V жидкости

V = Ö2(р¢ - р)/r (7)