Геометрическое определение вероятности

Вероятность равна отношению меры включаемого множества к мере включающего множества. Под мерой понимают длину, площадь или объем.

Свойства вероятности:

§ Вероятность достоверного события равна 1

.

§ Вероятность невозможного события равна 0

Р(Æ) = 0 .

§ Вероятность случайного события принимает значения от нуля до единицы

.

Решение.

У игральной кости 6 граней – это есть возможное число исходов.

а) Среди всех граней игральной кости имеется 3, содержащее четное число очков – 2,4,6. Поэтому вероятность будет равна:

б) На гранях игральной кости есть два числа, кратных 3 – это 3 и 6. Поэтому вероятность будет равна

Решение.

Число возможных исходов в данном случае равно числу перестановок, которое можно сделать из 5 букв, т.е. одно расположение букв отличается от другого расположения только порядком букв. Следовательно,

Благоприятный же исход всего один, и вероятность будет равна

.

Решение.

Число возможных исходов равно числу размещений из 10 цифр по 2, т.к. могут участвовать любые две цифры, и при этом порядок набора тоже будет иметь значение. Итак,

Благоприятный исход один, поэтому

.

Решение.

Число возможных исходов равно числу сочетаний из 25 человек по 5 человек, т.к. каждый вариант команды отличается от другого хотя бы одним человеком, а порядок значения не имеет. Следовательно,

Подсчитаем число благоприятствующих исходов: среди 10 юношей выбирают 3-х, это можно сделать способами, остальные в команде – 2 девушки, их можно выбрать способами, причем каждый вариант выбора 3-х юношей может сочетаться с каждым вариантом 2-х девушек, поэтому число благоприятствующих исходов равно .

.

Искомая вероятность

Решение.

Возможные исходы будут составлять точки круга, они заполняют площадь круга, т.е. Чтобы определить благоприятствующие исходы, нужно найти площадь вписанного квадрата. Известно, что сторона квадрата, вписанного в круг радиуса , равна , тогда площадь его составляет , т.е.

Вероятность равна

4. Основные теоремы и формулы

Как правило, для определения вероятностей событий применяются не только непосредственные прямые методы, а и косвенные, позволяющие по известным вероятностям одних событий определять вероятности других событий, с ними связанных. Вся теория вероятностей, в основном, и представляет собой систему таких косвенных методов, применение которых позволяет свести необходимый эксперимент к минимуму.

Суммой двух событий и называют событие , состоящее в появлении хотя бы одного из событий и (или , или , или и ).