Элементы комбинаторики

В разделе “Комбинаторный анализ” изучаются понятия, позволяющие определить без прямого пересчета различные возможные комбинации конечного числа элементов некоторого множества.

Принцип умножения:

Пусть нужно последовательно выполнить действий. Если первое действие можно выполнить различными способами, второе – различными способами и так до го действия, которое можно выполнить различными способами, то все действий можно выполнить различными способами.

Принцип сложения:

Если два действия взаимно исключают друг друга, причем одно из них можно выполнить различными способами, а другое – различными способами, то какое-либо одно из них можно выполнить различными способами.

Перестановкой из элементов называют упорядоченное расположение этих элементов в определенной линейной последовательности.

Различные перестановки из элементов отличаются порядком их следования. Число перестановок из элементов:

Из трех элементов можно составить перестановок:

, , , , , .

Размещением из элементов по элементов называют произвольное упорядоченное элементное подмножество элементного множества.

Различные размещения из элементов по отличаются друг от друга набором элементов и (или) порядком их следования. Число размещений из элементов по элементов:

Из трех элементов можно составить двухэлементных размещений:

, , , , , .

Сочетанием из элементов по называют произвольное неупорядоченное элементное подмножество элементного множества.

Различные сочетания из элементов по отличаются друг от друга набором элементов. Число сочетаний из элементов по элементов:

Замечание: и т.д.

Из трех элементов можно составить двухэлементных сочетаний:

, , .

Комбинации и представляют собой одно сочетание.

Решение.

Каждую цифру числа можно выбрать определенным числом способов: первую – девятью (все цифры подходят, кроме нуля, т.к. иначе это будет не трехзначное число), вторую – десятью и третью – десятью способами. По принципу умножения: .

Решение.

По принципу умножения на первое место могут претендовать 12 команд, на второе – 11 (одна команда заняла первое место), на третье – 10. Следовательно, общее число способов .

С помощью числа размещений:

.

Решение.

Поскольку при заполнении билета не важен порядок следования чисел, то количество способов вычисляют по формуле числа сочетаний:

.

2. Виды событий

Под событием в теории вероятностей понимают всякий факт, который в результате испытания может произойти или не произойти.

Например:

событие – появление герба при подбрасывании монеты, событие – попадание в мишень при выстреле, событие – извлечение туза из колоды карт, событие – первенцем в определенной семье является мальчик, событие – 1 августа в Донецке будет дождь.

Достоверным называют событие, которое в результате опыта непременно должно произойти.

Невозможным (Æ) называют событие, которое в результате данного опыта не может произойти.

Случайным называется событие, которое в результате данного опыта может произойти или не произойти.

Несколько событий образуют полную группу событий в данном опыте, если в результате опыта непременно должно появиться хотя бы одно из них.

Например:

события , , образуют полную группу, если: событие – менее двух опечаток на странице, событие – одна опечатка на странице, событие – более одной опечатки на странице.

Несколько событий называются несовместными в данном опыте, если никакие два из них не могут появиться вместе.

Например:

при выборе одной карты будут несовместными события: событие – появление туза, событие – появление дамы, событие – появление валета, событие – появление десятки.

События называются совместными в данном опыте, если появление одного из них не исключает появления остальных.

Несколько событий называются равновозможными в данном опыте, если в силу симметрии нет оснований считать, что одно из событий является объективно более возможным, чем другие.

Например:

равновозможными при одном подбрасывании монеты будут такие события: событие – появление “орла”, событие – появление “решки”.

Если несколько событий образуют полную группу, несовместны и равновозможны, то их называют случаями или исходами.

Случай называют благоприятствующим событию , если появление этого случая влечет за собой наступление данного события.

Например, при подбрасывании игральной кости событию – “появление четного числа очков” благоприятствуют три исхода .

Противоположными в данном опыте называют два несовместных события и , которые образуют полную группу.

Например:

событие – попадание при выстреле, событие – промах.