Уравнение Лейбензона

Лейбензон Л.С. получил дифференциальное уравнение для определения давления в пласте при неустановившемся движении в нем идеального газа.

Для получения требуемого уравнения используем изотермическое приближение и, следовательно, используем уравнение состояния в виде

. 5.38

Потенциальная функция, как уже отмечалось ранее, имеет вид

. 5.39

Обозначив р²=Р и проделав преобразования общего уравнения нестационарной фильтрации получим уравнение Лейбензона

. 5.40

По внешнему виду уравнение (5.40) не отличается от уравнения пьезопроводности (5.11), но множитель перед лапласианом переменен. В связи с этим уравнение (5.40) нелинейно в отличие от линейного уравнения пьезопроводности и решается , как правило, оно приближенно.

Для получения приближенного решения используется метод линеаризации, а именно, переменное давление р в b заменяется на некоторое постоянное : Лейбензон предложил замену на р_к (начальное давление в пласте); Чарный – на р_ср=р_min+0,7(p_max-p_min), где p_max и p_min- максимальное и минимальное давление в пласте за расчетный период.

При указанных допущениях решение будет иметь такой же вид, что и в случае упругой жидкости, но при этом в данных решениях давлению р будет соответствовать Р=р², k --Þ k^/= , Þ . Таким образом, изменение давления при нестационарной фильтрации газа описывается соотношением

- 5.41

При малых значениях r²/(4k^/t) можно заменить интегрально-показательную функцию логарифмической

- 5.42

Формулы (5.41),(5.42) определяют при фиксированных значениях времени распределение давления вокруг газовой скважины, работающей с постоянным дебитом с момента t=0. Депрессионные кривые идентичны кривым при установившейся фильтрации – имеют максимальную кривизну вблизи скважины (рис.5.9а). Если задать значение r, то можно найти изменение давления в данной точке с течением времени (рис.5.9b). В частности, можно найти давление на забое (при r=r_c) после начала работы скважины.