Матрица питательности

 

Питательное вещество   Продукт  
F1   F2   …   Fn  
N1 α11 α12 α1n
N2 α21 α22 α2n
Nm αm1 αm2 αmn

 

Предположим, что диетолог уже выбрал диету, т.е. определил, что человек должен за месяц потреблять η1 кг продукта F1,..., ηn кг продукта Fn. Полное количество питательного вещества N1 будет

По условию требуется, чтобы его, по крайней мере, хватило

 

η1α11 + η2 α12 +…+ ηn α1n ≥ γ1

 

Точно то же и для остальных веществ. В целом

 

η1αi1 + η2 αi2 +…+ ηn αin ≥ γi (i = 1, 2,… m)

 

Эти условия определяют наличие минимума необходимых питательных веществ. Диета, для которой выполнены условия (7.78) - допустимая диета. Предположим, что из всех допустимых диет должна быть выбрана самая дешевая. Пусть πi - цена 1 кг продукта Fi. Полная стоимость диеты, очевидно,

S = π1η1 + π2η2 +… + πnηn.(7.79)

Таким образом, мы пришли к задаче: найти неотрицательное решение η1, …, ηn системы неравенств (7.78), минимизирующее выражение (7.79).

В примерах, приведенных выше. имеется нечто общее. Каждый из них требует нахождения наиболее выгодного варианта в определенной экономической ситуации. С чисто математической стороны в каждой задаче требуется найти значение нескольких неизвестных так, чтобы

1) все эти значения были неотрицательны;

2) удовлетворяли системе линейных уравнений или линейных неравенств;

3) при этих значениях некоторая линейная функция имела бы минимум (или максимум). Таким образом, линейное программирование - это математическая дисциплина, изучающая методы нахождения экстремального значения линейной функции нескольких переменных при условии, что последние удовлетворяют конечному числу линейных уравнений и неравенств. Запишем это с помощью формул: дана система линейных уравнений и неравенств.

Запишем это с помощью формул: дана система линейных уравнений и неравенств

(7.80)

и линейная функция

f = c1x1 + c2x2 + … + cnxn(7.81)

 

Требуется найти такое неотрицательное решение

 

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, …, xn ≥ 0

 

системы (7.80), чтобы функция f принимала наименьшее (или наибольшее) значение.

Условия (7.80) называют ограничениями данной задачи, а функцию f - целевой функцией (или линейной формой). В приведенных выше примерах ограничения имели вид не уравнений, а неравенств. Заметим, что ограничения в виде неравенств всегда можно свести к системе в виде равенств (способом введения добавочных неизвестных).

Так, для неравенства

 

ai1x1 + ai2x2 + … + ainxn ≥ bi

вводя добавочное неизвестное xn +1, получаем

 

xn+1 = ai1x1 + ai2x2 + … + ainxn - bi

 

Потребовав его неотрицательности наряду с остальными неизвестными, получим, что условие xn + 1 0 превращает (7.84) в (7.83). Введя по отдельному дополнительному неизвестному для каждого из неравенств, получим систему уравнений, равносильную исходной системе неравенств. Пример. Дана система неравенств

Сведем ее к системе уравнений. Получим

После оптимизации значениями дополнительных неизвестных следует пренебречь.








Дата добавления: 2015-10-13; просмотров: 544;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.012 сек.