Квадратичные формы. Некоторые свойства линейных пространств

Некоторые свойства линейных пространств

Утверждение 1. В произвольном линейном пространстве нулевой элемент — единственный.

Утверждение 2. В произвольном линейном пространстве нулевой элемент равен произведению произвольного элемента на действительное число 0.

Утверждение 3. В произвольном линейном пространстве каждому элементу отвечает единственный противоположный элемент.

Утверждение 4. В произвольном линейном пространстве противоположный элемент произвольного элемента x равен произведению x на действительное число -1.

Утверждение 5. В произвольном линейном пространстве для любых двух произвольных элементов x и y существует и единственна разность:
x-y = x+(-1) ·y.

Квадратичные формы

Квадратичной формой от переменных называется сумма

, где - элементы квадратной матрицы

, называемой матрицей квадратичной формы.

Квадратичная форма называется симметрической, если . В этом случае . Например, при , имеем

, где .

Симметрическая квадратичная форма называется положительно определенной, если выполнены неравенства

Симметрическая квадратичная форма называется отрицательно определенной, если выполнены неравенства

Пример. Записать матрицу квадратичной формы .

Решение.

Пример. Записать канонический вид квадратичной формы

Решение. Преобразуем . Обозначим . Тогда канонический вид квадратичной формы запишется так

.

Пример. Записать матрицу квадратичной формы .

Решение.

Пример. Положительно определенная квадратичная форма может иметь вид

1. ; 2. ; 3. ; 4.

Решение. Выписываем матрицы квадратичных форм и соответствующие определители

1. , положительно определена.

2. не явл.пол.опред.

3. не явл.пол.опред

4. не явл.пол.опред

Ответ.

СВОДКИ ФОРМУЛ