Поток событий

Определение. Потоком событийназывается последовательность событий, происходящих один за другим в какие- то моменты времени.

Характер событий, образующих поток может быть различным, а если события отличаются друг от друга только моментом времени, в который они происходят, то такой поток событий называется однородным.

Однородный поток можно изобразить последовательностью точек на оси, соответствующей времени:

t₁ t₂ t_n

t

Определение.Поток событий называется регулярным, если события следует одно за другим через строго определенные промежутки времени.

Определение. Поток событий называется стационарным, если вероятность попадания того ли иного числа событий на участок времени t зависит только от длины участка и не зависит от того, где именно на оси расположен этот участок.

Стационарность потока событий означает, что плотность потока постоянна, отсутствуют промежутки времени, в течение которых событий больше чем обычно. Классический пример – «час пик» на транспорте.

Определение. Поток событий называется потоком без последействий, если для любых неперекрещивающихся участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, опадающих на другие.

Отсутствие последействий означает, что заявки в систему поступают независимо друг от друга. Поток выходных событий систем массового обслуживания обычно имеет последействие, даже если входной поток его не имеет. Пример – вход пассажиров на станцию метро – поток без последействия, т.к. причины прихода отдельного пассажира не связаны с причинами прихода всех остальных, а выход пассажиров со станции – поток с последействием, т.к. он обусловлен прибытием поезда.

Последействие, свойственное выходному потоку следует учитывать, если этот поток в свою очередь является входным для какой- либо другой системы.

Определение. Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на элементарный участок Dt двух или более событий достаточно мало по сравнению с вероятностью попадания одного события.

Условие ординарности означает, что заявки на систему приходят по одному, а не парами, тройками и т.д. Однако, если заявки поступают только парами, только тройками и т.д., то такой поток легко свести к ординарному.

Определение. Если поток событий стационарен, ординарен и без последействий, то такой поток называется простейшим (пуассоновским)потоком.

Это название связано с тем, что в этом случае число событий, попадающих на любой фиксированный интервал времени, распределено по распределению Пуассона .

В соответствии с этим законом распределения математическое ожидание числа точек, попавших попадающих на участок времени t, имеет вид:

l — плотность потока — среднее число событий в единицу времени.

Вероятность того, что за время t произойдет ровно т событий, равна

Вероятность того, что в течение данного времени не произойдет ни одного события, равна:

Пусть Т – промежуток времени между двумя произвольными соседними событиями в простейшем потоке. Найдем функцию распределения

В соответствии с законом распределения Пуассона, получаем:

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны:

Таким образом, для величины Т получили показательный закон распределения.

Пример. В бюро обслуживания в среднем поступает 12 заявок в час. Считая поток заказов простейшим, определить вероятность того, что: а) за 1 минуту не поступит ни одного заказа, б) за 10 минут поступит не более трех заказов.

Сначала найдем плотность (интенсивность) потока, выразив ее в количестве заявок в минуту. Очевидно, эта величина равна .

Далее находим вероятность того, что за время t = 1 мин не поступит ни одной заявки по формуле:

Вероятность того, что за 10 минут поступит не более трех заказов будет складываться из вероятностей того, что не поступит ни одного заказа, поступит один, два или ровно три заказа.

Пример. В ресторан прибывает в среднем 20 посетителей в час. Считая поток посетителей простейшим, и зная, что ресторан открывается в 11.00, определите:

а) вероятность того, что в 11.12 в ресторан придет 20 посетителей при условии, что в 11.07 их было 18

б) вероятность того, что между 11.28 и 11.30 в ресторане окажется новый посетитель, если известно, что предшествующий посетитель прибыл в 11.25.

Для ответ на первый вопрос фактически надо найти вероятность того, что в промежуток от 11.07 до 11.12 (t = 5 минут) придет ровно 2 посетителя. При этом мы знаем интенсивность потока посетителей - l = 20/60 = 1/3 посетителей в минуту. Конечно, данная величина носит условный характер, т.к. посетители не могут приходить по частям.

Искомая вероятность равна:

Теперь перейдем ко второму вопросу. Нам не сказано, сколько именно новых посетителей будет в промежутке от 11.28 до 11.30, главное чтобы был хоть один. Эта вероятность равна . Здесь Р₀ (2) – вероятность того, что в этом промежутке не будет ни одного посетителя.

Если поток событий нестационарен, то его плотность l уже не является постоянной величиной, а зависит от времени.

Определение. Мгновенной плотностьюпотока событий называется предел отношения среднего числа событий, приходящегося на элементарный отрезок времени (t, t + Dt), к длине этого участка, которая стремиться к нулю.

Как видно из приведенного определения, с учетом того, что среднее число событий на участке времени равно математическому ожиданию, то можно сказать, что мгновенная плотность потока равна производной по времени от математического ожидания числа событий на участке (0, t).

Определение. Нестационарным пуассоновским потокомназывается ординарный поток однородных событий без последействий с переменной плотностью l(t).

Для такого потока число событий, попадающих на участок длины t, начинающийся в точке t₀, подчиняется закону Пуассона:

Здесь а – математическое ожидание числа событий на участке от t₀ доt + t₀ . Оно вычисляется по формуле:

Величина а на только от длины участка t, но и от его положения во времени. Закон распределения промежутка Т между двумя соседними событиями также будет зависеть от того, где на временной оси расположено первое из событий, а также от функции l(t) .

Вероятность того, что на участке времени от t₀ до t + t₀ не появится ни одного события, равна

Тогда, соответственно, вероятность появления хотя бы одного события на этом интервале времени будет равна:

Плотность распределения можно найти дифференцированием:

Эта плотность распределения уже не будет показательной. Она зависит от параметра t₀ и вида функции l(t). Однако, условие отсутствия последействия в этом виде потока сохраняется.