Классификация точек покоя

Рассмотрим систему двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Характеристическое уравнение этой системы имеет вид:

Рассмотрим следующие возможные случаи:

1) Корни характеристического уравнения действительные, отрицательные и различные.

Точка покоя будет устойчива. Такая точка покоя называется устойчивым узлом.

2) Корни характеристического уравнения действительны и

или .

В этом случае точка покоя также будет устойчива.

3) Хотя бы один из корней положителен.

В этом случае точка покоя неустойчива, и такую точку называют неустойчивым седлом.

4) Оба корня характеристического уравнения положительны .

В этом случае точка покоя неустойчива, и такую точку называют неустойчивым узлом.

Если полученного решения системы исключить параметр t, то полученная функция дает траекторию движения в системе координат XOY.

Возможны следующие случаи:

b b

 

a a

 

Устойчивый узел. Неустойчивый узел. Седло.

5) Корни характеристического уравнения комплексные .

Если р = 0, т.е. корни чисто мнимые, то точка покоя (0, 0) устойчива по Ляпунову. Такая точка покоя называется центром.

Если p < 0, то точка покоя устойчива и называется устойчивым фокусом.

Если p > 0, то точка покоя неустойчива и называется неустойчивым фокусом.









Дата добавления: 2015-10-13; просмотров: 1025;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.004 сек.