Второй учебный вопрос. Пределы применимости формулы Эйлера. Формула Ясинского

При достижении критической силы в стержне возникает критическое напряжение

(6)

Подставляя в формулу (6) значение критической силы по формуле Эйлера можно получить выражение

(7)

Здесь введено выражение минимального радиуса инерции

Отношение приведенной длины к минимальному радиусу инерции называется гибкостью стержня.

(8)

Формула (7) с учетом (8) приобретает вид

(9)

Критическое напряжение не должно превышать предела пропорциональности, так как формула Эйлера выведена из условия выполнения закона Гука, т.е.

откуда

(10)

Наименьшая гибкость стержня, при которой применима формула Эйлера называется предельной

(11)

Условие применимости формулы Эйлера можно записать в виде

(12)

Если гибкость стержня меньше предельной гибкости, формула Эйлера неприменима.

Важно отметить, что предельная гибкость зависит только от материала. Например, для стали Ст 3, имеющей Е = 2·10¹¹ Па и σ_пц = 200 МПа получим

Гибкость реальной конструкции определяется по формуле (8). Если она меньше предельной, для расчета критического напряжения используется формула Ясинского

(13)

где а и в – эмпирические (опытные) коэффициенты, зависящие от материала (например, для стали Ст3 а = 310 МПа, b = 1,14 МПа).

При некотором значении гибкости стержня λ₀ критическое напряжение, определяемое по формуле Ясинского, становится равным предельному напряжению при сжатии, т.е. σ_т для пластичных и σ_в для хрупких материалов. Стержни малой гибкости, имеющие гибкость λ ˂ λ₀, рассчитывают на прочность при сжатии, т.е. на устойчивость не рассчитывают. Стержни средней гибкости с λ > λ₀ рассчитывают на устойчивость по формуле Ясинского. Стержни большой гибкости рассчитывают на устойчивость по формуле
Эйлера. Иллюстрацией сказанного служит рисунок 4.

Рисунок 4 – Границы применения формул Эйлера и Ясинского

Из рисунка видно, что, если применять формулу Эйлера при гибкости меньше предельной, получим завышенные значения критического напряжения, и в действительности потеря устойчивости будет происходить раньше, чем получится по расчету. Рациональные сечения для сжатых стержней должны иметь одинаковые моменты инерции относительно центральных осей, например, рациональны кольцевые сечения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотрены вопросы, связанные с устойчивостью продольно сжатых стержней. Показано, что объекты, характеризующиеся значительной длиной, малой жесткостью, нагруженные сжимающей силой, нужно в первую очередь рассчитывать на устойчивость. Характеристиками, определяющими выбор расчетной формулы, является гибкость стержня и его материал. Изложены необходимые сведения для решения типовых задач на устойчивость продольно сжатых стержней.

ЛИТЕРАТУРА

а) основная

1. Степин П.А. Сопротивление материалов [Текст]: учебник /П.А. Степин. – М.: Высшая школа, 1988, с. 264 – 273;