Первый учебный вопрос. Критическая сила. Формула Эйлера

Рассмотрим стержень, нагруженный продольной сжимающей силой (рисунок 1). Если сила меньше некоторого критического значения Р_кр, устойчивой является прямолинейная форма (рисунок 1, а). При достижении критического значения Р_кр устойчивой является форма изогнутого стержня (рисунок 1,б)

Рисунок 1 – Потеря устойчивости формы равновесия

Продольным изгибом называется изгиб, вызванный потерей устойчивости сжатого стержня. Потеря устойчивости происходит при достижении критической силы.

Условие устойчивости имеет вид:

(1)

Формулу для определения критической силы вывел академик Петербургской академии наук Л. Эйлер в 1744 году. При ее выводе он использовал схему, показанную на рисунке 2.

Рисунок 2 – Схема к выводу формулы Эйлера

Из теории прямого изгиба известна формула

(2)

где ρ – радиус кривизны изогнутого стержня;

М – изгибающий момент.

Из уравнения (2) с использованием приведен ной расчетной схемы можно получить формулу для определения критической силы

(3)

В формуле (3) указан минимальный осевой момент инерции, так как изгиб стержня будет происходить относительно оси с наименьшим моментом инерции сечения.

От условий закрепления концов стержня зависит величина критической силы. В окончательной формуле Эйлера учитываются условия закрепления стержня

(4)

Основные случаи закрепления концов стержня и соответствующие им коэффициенты приведения длины показаны на рисунке 3.

Рисунок 3 – Коэффициенты приведения длины при различных случаях закрепления концов стержня

Коэффициент приведения длины можно определить по формуле

µ = 1 / n, (5)

где n – число полуволн, образующихся при потере устойчивости стержня.

В схеме Эйлера (рисунок 2) одна полуволна, поэтому в формуле (3) µ = 1.

Из формулы (4) видно, что повышением прочности стали нельзя добиться увеличения критической силы. В нее входит модуль упругости Е, мало отличающийся у любых марок стали.