Если , то называется бинарным отношением на множестве . Основу для классификации таких отношений составляют следующие пять классов отношений.

Бинарное отношение называется:

1) рефлексивным, если

;

2) антирефлексивным,

;

3) симметричным, если

;

антисимметричным, если

;

5) транзитивным, если

.

Замечание 2.3. Графическое изображение дает возможность следующим образом охарактеризовать в единых терминах первые четыре из определенных выше пяти классов бинарных отношений на множестве . Множество называется диагональю множества . Таким образом, отношение : 1) рефлексивно, если содержит диагональ ; 2) антирефлексивно, если не содержит ни одного элемента диагонали ; 3) симметрично, если графическое изображение симметрично относительно диагонали ; 4) антисимметрично, если при графическом изображении , никакая его часть, лежащая вне диагонали , не симметрична относительно диагонали (отсюда, в частности, вытекает, что любое подмножество диагонали – антисимметричное отношение). Графическое изображение отношений, принадлежащих первым четырем, из определенных выше пяти классов бинарных

Пример 2.6. Рассмотрим отношения , , , и на множестве .

Из (1.1)-(1.3) вытекает, что отношение = рефлексивно, симметрично (и, в то же время, антисимметрично) и транзитивно, а отношение антирефлексивно и симметрично. Из (1.5)-(1.7) вытекает, что отношение рефлексивно, антисимметрично и транзитивно, а отношение антирефлексивно. Из (1.11) и (1.13) вытекает, что отношение антирефлексивно и транзитивно. А так как

,

то отношение антисимметрично.

Выделим теперь следующие важные (с позиции, как самой математики, так и ее многочисленных приложений) классы бинарных отношений на множестве . Бинарное отношение называется:

отношением эквивалентности (или эквивалентностью на множестве ), если рефлексивно, симметрично и транзитивно;

отношением порядка (или порядком на множестве ), если рефлексивно, антисимметрично и транзитивно;

отношением строгого порядка (или строгим порядком на множестве ), если антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно;

отношением толерантности (или толерантностью на множестве ), если рефлексивно и симметрично.

Замечание 2.4. Антирефлексивное антисимметричное отношение называется асимметричным отношением на множестве . Таким образом, – отношение строгого порядка на множестве , если асимметрично и транзитивно.

Замечание 2.5. Понятие отношение толерантности – это математический формализм, предназначенный для представления интуитивного понятия схожесть или близость (объектов, понятий, свойств и т.д.). Его значение характеризуется следующим образом. Пусть – отношение толерантности и . Тогда последовательность представляет последовательный, шаг за шагом, переход от объекта к объекту , причем на каждом шаге переход осуществляется от одного объекта к близкому к нему объекту.

Определенные выше классы бинарных отношений на множестве схематически представлены на рис. 2.4.

Пример 2.7. 1. Из свойств, установленных в примере 2.6, вытекает, что на множестве отношение – эквивалентность, отношение – порядок, а отношение – строгий порядок.

2. Определим бинарное отношение ( – фиксированное натуральное число) равенством

.