Закон радіоактивного розпаду

Радіоактивний розпад – явище принципово статистичне. Ядра розпадаються незалежно одне від одного. Неможливо передбачити, коли саме розпадеться дане ядро; можна лише вказати, з якою ймовірністю воно розпадеться за той чи інший проміжок часу.

Основною статистичною величиною, що характеризує радіоактивний розпад, є ймовірність λ розпаду одного ядра даного ізотопу за одиницю часу. Величину λ називають сталою розпаду ядра.

Будемо вважати, що в початковий момент часу t₀ = 0 кількість радіоактивних ядер достатньо велика і дорівнює N₀. Внаслідок розпаду кількість радіоактивних ядер поступово зменшується і в момент часу t становитиме N(t) ядер. Знайдемо вид цієї залежності.

Зміна dN числа радіоактивних (тих, що не розпалися) ядер за малий проміжок часу від t до t+dt:

.

Очевидно, кількість ядер, що розпалися за цей же інтервал часу дорівнюватиме (–dN) – зменшення числа радіоактивних ядер дорівнює збільшенню кількості тих, що розпалися. З іншого боку, число радіоактивних розпадів пропорційно, крім λ, як числу ядер N, так і тривалості інтервалу dt. Звідси дістанемо, що із загальної кількості N(t) радіоактивних ядер за вказаний проміжок часу розпадається в середньому λ·N(t)·dt ядер.

Отже диференціальне рівняння для визначення залежності N(t) має вигляд:

, (5)

при початковій умові N(0) = N₀.

Інтегруючи це рівняння дістанемо закон радіоактивного розпаду:

. (6)

Поряд з сталою λ радіоактивні ізотопи характеризують ще двома величинами: періодом напіврозпаду T та середнім часом життя τ.

Періодом напіврозпадуназивають проміжок часу, за який число радіоактивних ядер даного ізотопу зменшується удвічі. Цей час визначається з умови:

,

або, враховуючи (6):

.

Розв’язавши останнє рівняння відносно T, знаходимо:

. (7)

Середнім часом життя називають величину

,

яка визначає проміжок часу, протягом якого початкове число радіоактивних ядер зменшується у е разів.

При роботі з препаратами радіоактивних речовин важливо знати швидкість розпаду радіоактивних ядер. Такою характеристикою є активність а – величина, яка дорівнює числу радіоактивних розпадів, що відбуваються в препараті за одиницю часу:

.

Порівнюючи цей вираз з рівнянням (5) або диференціюючи рівняння (6), одержимо:

(8,а)

або

. (8,б)

В останній формулі добуток λ·N₀ перед експонентою має фізичний зміст початкової активності а₀ препарату. Отже, формулу (8,б) можна подати у вигляді:

. (9)

Одиницею вимірювання активності в СІ є бекерель (1 Бк = 1 розпад/с). Поряд з бекерелем можна зустрітися і з позасистемною одиницею активності – кюрі. Активність 1 Кі дорівнює кількості розпадів, які відбуваються щосекунди в одному грамі чистого ізотопу ²²⁶Ra, період напіврозпаду якого T = 1620 років. Співвідношення між цими одиницями таке: 1 Кі = 3,7∙10 ¹⁰ Бк.