Оценка вероятности по частоте
При испытаниях часто приходится оценивать неизвестную вероятность Р события А по его частоте в «n» независимых опытах.
В общем случае, если в «п» проведенных опытах обозначить появление события А единицей, а непоявление события — нулем, то эмпирическая вероятность будет равна
Математическое ожидание данной величины равно: М[ ] = р, а ее дисперсия: D[ ] = pq/n, где q = 1 – p.
В теории вероятностей доказывается, что эта дисперсия является минимально возможной, означающей, что оценка является эффективной.
Доверительный интервал для вероятности будет равен Iβ( ) = (p1; p2),
где
При n → ∞ величины → 0 и → 0, поэтому формулы в пределе принимают вид
Формулами можно пользоваться при достаточно больших п (порядка сотен опытов) и когда вероятность р не слишком велика (когда величины пр и nq порядка 10 и более).
При малом числе опытом, а также в том случае, когда вероятность рочень велика или очень мала формулами для построения доверительного интервала пользоваться нельзя, т. к. они получены с рядом допущений.
В этом случае доверительный интервал строят из точного закона распределения частоты каковым является биномиальное распределение, для которого
где Рт,п — вероятность появления т событий в п опытах, —число т сочетаний в n опытах. Частота равна .
Значение доверительного интервала в этих случаях лучше не вычислять, а находить по специальным графикам. На рис. 7.2 приведен такой график для доверительной вероятности β = 0,9. В справочной литературе существуют таблицыp1 и р2 для различных β.
Рис. 7.2. Номограмма для определения p1; p2 при доверительной вероятности. β = 0.9.
Дата добавления: 2015-10-05; просмотров: 1080;