Линеаризация

Для того, чтобы оценить неизвестные параметры β0 , … , βn нелинейной регрессионной модели, необходимо привести ее к линейному виду. Суть линеаризации нелинейных по независимым переменным регрессионных моделей заключается в замене нелинейных факторных переменных на линейные. В общем случае полиномиальной регрессии процесс замены нелинейных переменных функции п-го порядка выглядит следующим образом: x = с1, ; х2 = c2 ; xЗ = с3; ... ; xп = cп.

Тогда уравнение множественной нелинейной регрессии можно записать в виде линейного множественного регрессионного уравнения

yi = β0 + β1xi + β2x2i + … +βnxni + εi =>

=> yi = β0 + β1c1i + β2c2i + … +βncni + εi

Гиперболическую функцию также можно привести к линейному виду с помощью замены нелинейной факторной переменной на линейную. Пусть 1/х = с . Тогда исходное уравнение гиперболической функции можно записать в преобразованном виде:

yi = β0 + β1 / xi + εi => yi = β0 + β1сi + εi

Таким образом, и полиномиальную функцию любой степени, и гиперболоид можно свести к модели линейной регрессии, что позволяет применять к преобразованной модели традиционные методы нахождения неизвестных параметров уравнения регрессии (например, классический МНК) и стандартные методы проверки различных гипотез.

Ко второму классу нелинейных моделей относятся регрессионные модели, в которых результативная переменная yi нелинейно связана с параметрами уравнения β0 ,…, βn . К такому типу регрессионных моделей относятся:

1) степенная функция

yi = β0 · x i β1 · εi

2) показательная функция

yi = β0 · β1xi · εi

3) логарифмическая парабола

yi = β0 · β1xi · β2xi · εi2

4) экспоненциальная функция

yi = e β0+β1xi · εi

5) обратная функция

и другие.

Нелинейные по параметрам регрессионные модели в свою очередь делятся на модели подлежащие линеаризации (внутренне линейные функции) и неподлежащие линеаризации (внутренне нелинейные функции). Примером моделей, которые можно свести к линейной форме, является показательная функция вида yi = β0 · β1xi · εi , где случайная ошибка εi мультипликативно связана с факторным признаком xi . Данная модель нелинейна по параметру β1. Для ее линеаризации вначале осуществим процесс логарифмирования:

ln yi = ln β0 + xi ·ln β1 + ln εi

Затем воспользуемся методом замен. Пусть ln yi = Yi; ln β0 = А; ln β1 =В; ln εi =Еi.

Тогда преобразованная показательная функция имеет следующий вид:

Yi = А + В xi + Еi .

Следовательно, показательная функция yi = β0 · β1xi · εi является внутренне линейной, и оценки ее параметров могут быть найдены с помощью традиционного метода наименьших квадратов.

Если же взять показательную функцию, включающую случайную ошибку εi аддитивно, т.е. yi = β0 · β1xi+ εi , то данную модель уже невозможно привести к линейному виду с помощью логарифмирования. Она является внутренне нелинейной.

Пусть задана степенная функция вида yi = β0 · x i β1 · εi . Прологарифмируем обе части уравнения:

ln yi = ln β0 + β1·ln xi + ln εi

Теперь воспользуемся методом замен: ln yi = Yi; ln β0 = А; ln xi =Xi; ln εi = Еi .

Тогда преобразованная степенная функция имеет следующий вид:

Yi = А + β1 Xi + Еi .

Степенная функция также является внутренне линейной и ее оценки можно найти с помощью традиционного метода наименьших квадратов. Но если взять степенную функцию; виде уравнения yi = β0 · x i β1+ εi , где случайная ошибка аддитивно связана с факторной переменной, то модель становится внутренне нелинейной.








Дата добавления: 2015-10-05; просмотров: 3956;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.007 сек.