с постоянными коэффициентами
Иногда представляется возможным представить вид частного решения в зависимости от вида правой части неоднородного уравнения.
Различают следующие случаи:
I. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:
где - многочлен степени m. Тогда частное решение ищется в виде:
.
Здесь - многочлен той же степени, что и , но с неопределенными коэффициентами, а r – число, показывающее сколько раз число a является корнем характеристического уравнения для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.
Пример. Решить уравнение .
Решим соответствующее однородное уравнение:
Теперь найдем частное решение исходного неоднородного уравнения.
Сопоставим правую часть уравнения с видом правой части, рассмотренным выше:
Частное решение ищем в виде: , где
т.е.
Теперь определим неизвестные коэффициенты А и В.
Подставим частное решение в общем виде в исходное неоднородное дифференциальное уравнение.
Итого, частное решение:
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:
II. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:
.
Здесь и – многочлены степени и соответственно. Тогда частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид:
.
где число r показывает сколько раз число является корнем характеристического уравнения для соответствующего однородного уравнения, а и – многочлены степени не выше m, где m- большая из степеней и .
Заметим, что если правая часть уравнения является комбинацией выражений рассмотренного выше вида, то решение находится как комбинация решений вспомогательных уравнений, каждое из которых имеет правую часть, соответствующую выражению, входящему в комбинацию.
Таким образом, если уравнение имеет вид: , то частное решение этого уравнения будет где и – частные решения вспомогательных уравнений
и .
Пример. Решить уравнение
Правую часть дифференциального уравнения представим в виде суммы двух функций .
Составим и решим характеристическое уравнение:
1. Для функции решение ищем в виде .
Получаем: т.е.
Таким образом:
2. Для функции решение ищем в виде: .
Анализируя функцию , получаем:
Таким образом,
Таким образом: т.е. искомое частное решение имеет вид:
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения:
Пример. Решить уравнение
Составим характеристическое уравнение для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения:
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Находим частное решение неоднородного уравнения в виде:
;
Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов:
Подставляя в исходное уравнение, получаем:
Частное решение имеет вид:
Общее решение линейного неоднородного уравнения:
Пример. Решить уравнение
Характеристическое уравнение:
Общее решение однородного уравнения:
Частное решение неоднородного уравнения: .
Находим производные и подставляем их в исходное неоднородное уравнение:
Получаем общее решение неоднородного дифференциального уравнения в виде:
Дата добавления: 2015-09-29; просмотров: 493;