Линейное (векторное) пространство

Раздел 2. Квадратичные формы и линейные операторы

Линейные операторы

Линейное (векторное) пространство

Пусть - множество элементов, для которых определены операции сложения и умножения на число, причём эти операции обладают следующими свойствами.

Для любых элементов , , из множества

1) (коммутативность сложения);

2) (ассоциативность сложения);

3) во множестве существует нулевой элемент такой, что для любого элемента , (существование нулевого элемента);

4) для любого элемента существует элемент , такой, что (существование противоположного элемента);

5) .

Для любых действительных чисел любых элементов , из множества ;

6) ;

7) Распределительный закон ;

8) .

Определение. Множество называется линейным (векторным) пространством, а его элементы называются векторами.

Примерами векторных пространств являются множество действительных чисел, множество векторов на плоскости и в пространстве, матрицы и т.д.

Если операции сложения и умножения на число определены для действительных элементов, то линейное (векторное) пространство является вещественным пространством, если для комплексных элементов – комплексным пространством.