Закон всемирного тяготения и задача двух тел

Из закона всемирного тяготения вытекают, как следствия, все три закона Кеплера, которые И. Ньютон вывел математически в более общем виде, применимом не только к обращению планет вокруг Солнца, но и к любым системам обращающихся тел.

Задача определения орбиты одного небесного тела относительно другого называется задачей двух тел. При решении этой задачи небесное тело большей массы , называемое центральным телом, полагается неподвижным, и определяется орбита, по которой тело меньшей массы движется относительно центрального тела. Ньютон показал, что в поле тяготения центрального тела любое другое небесное тело будет двигаться по одному из конических сечений – кругу, эллипсу, параболе или гиперболе, причем центральное тело всегда находится в одном из фокусов орбиты движущегося тела, линейная скорость которого относительно центрального на данном расстоянии определяется интегралом энергии

,

(8.1)

где , – большая полуось орбиты, – радиус-вектор движущегося тела, – гравитационная постоянная.

Согласно интегралу энергии, каждому расстоянию от центрального тела соответствует ряд значений скорости , определяющих род орбиты движущегося тела. Так, чтобы небесное тело обращалось вокруг центрального по круговой орбите радиуса , оно должно на данном расстоянии обязательно иметь величину орбитальной скорости , причем согласно выражению (8.1),

(8.2)

или

.

(8.3)

Эта скорость называется круговой скоростью.

Если на расстоянии от центрального тела скорость движущегося тела несколько превышает , соответствующую расстоянию , такое тело также будет спутником центрального, и будет двигаться вокруг него по эллиптической орбите, большая полуось которой может быть вычислена по интегралу энергии. Чем больше превышает , тем более вытянутой будет эллиптическая орбита (0<e<1). Наконец, если на данном расстоянии от центрального тела скорость движущегося тела

,

(8.4)

то оно уже не будет спутником центрального тела, а пройдет мимо него по параболической орбите. В самом деле, при подстановке

в интеграл энергии получим , то есть , что характеризует эллиптическую орбиту (e = 1). Поэтому скорость

(8.5)

называется параболической скоростью.

При движение тела происходит по гиперболе ( ).

При вычислении тех или иных величин приходится пользоваться самыми различными единицами измерений. Так, расстояние между небесными телами выражаются и в километрах ( ) и в астрономических единицах ( ), массы небесных тел – в массах Земли, массах Солнца, а иногда и в граммах ( ), время – в годах, средних солнечных сутках и в секундах, линейная скорость, как правило, – в и так далее. Однако, это отнюдь не означает, что при решении задач можно пользоваться произвольными единицами измерений – все зависит от условий решаемой задачи. Если однородные физические величины входят в уравнение в виде отношения, то они могут быть выражены в любых соответствующих, но обязательно одинаковых единицах измерения, вне зависимости от единиц измерения других величин, входящих в то же уравнение. Если же уравнением связаны разнородные физические величины, то все они должны быть выражены обязательно в одной определенной системе единиц.

Часто приходится применять абсолютную систему единиц СГС, в которой масса выражается в граммах ( ), расстояние – в сантиметрах ( ), время – в секундах ( ), скорость – в , ускорение – в , тогда гравитационная константа . В Международной системе единиц СИ, практически не используемой в астрономии, масса выражается в , расстояние – в метрах ( ), время – в секундах ( ), скорость – в и .

Следует предупредить о бессмысленном вычислении масс небесных тел с точностью до 1 или 1 , а расстояний – с точностью 1 или 1 ; речь идет лишь об их выражении в системе СГС или СИ, и поэтому при вычислениях достаточно ограничиться числом из трех-четырех значащих цифр, умножая его на число 10 в определенной степени (то есть ), полученной при вычислениях.

В астрономии часто применяется гауссова система единиц, в которой массы небесных тел выражаются в массах Солнца, единицей длины является астрономическая единица ( ), а единицей времени – средние солнечные сутки.

Если же массы небесных тел выражать в солнечных массах, расстояния – в астрономических единицах, а скорость – в , то и .

Полагая в равенстве (8.1) массу Солнца и пренебрегая в сравнении с массой Солнца малыми массами его спутников ( ), получим , и тогда скорость небесных тел в поле тяготения Солнца определится как

,

(8.6)

где и выражены в астрономических единицах ( ), а в .

Выражение (8.6) позволяет вычислить скорость планет и комет на любом расстоянии от Солнца. Положив в формуле (8.6) , можно найти значение круговой скорости

(8.7)

и значение параболической скорости на произвольном расстоянии от Солнца.

При подстановке в равенство (8.7) и делении на него выражения (8.6), получается удобная формула для вычисления скорости тел в поле тяготения Солнца по их круговой скорости .

Из интеграла энергии (8.1) весьма просто выводится третий закон Кеплера в обобщенном виде, для чего достаточно эллиптическое движение спутника заменить движением по круговой орбите радиуса . Тогда круговая скорость спутника

,

(8.8)

где – период обращения спутника вокруг центрального тела, а так как, согласно формуле (8.2),

, то
, откуда
.	(8.9)

Массы спутников, как правило, очень малы в сравнении с массой центрального тела, и поэтому, пренебрегая в формуле (8.9) величиной , можно вычислить массу центрального тела в определенной системе единиц.

Поскольку масса небесных тел обычно вычисляется в сравнении с солнечной или земной массой (то есть, в массах Солнца или в массах Земли), то значительно проще применить третий обобщенный закон Кеплера к двум системам обращающихся тел

.

(8.10)

Здесь величины с индексом 1 относятся к одной системе центрального тела и его спутника, а те же величины с индексом 2 – к другой системе аналогичных тел.

При определении масс планет в массах Земли сравнивают движение спутника планеты с движением Луны вокруг Земли. Для этого в формуле (8.10) под подразумевают массу планеты, под и – большую полуось орбиты спутника и период его обращения вокруг планеты, а массой спутника пренебрегают ( ). Считая массой Земли, – массой Луны, – звездным месяцем и – большой полуосью лунной орбиты, вычисляют массу планеты в массах Земли и Луны , а затем уже, зная, что масса Луны ( ) в 81,3 раза меньше массы Земли ( ), находят массу планеты в массах Земли .

Зная массу и радиус небесного тела, можно вычислить ускорение силы тяжести на его поверхности, причем удобнее всего вычислять в сравнении с ускорением на Земле, а затем уже, в случае необходимости, найти его абсолютное значение. Очевидно, на поверхности небесного тела

,

(8.11)

а на земной поверхности

(8.12)

и тогда

или

,

(8.13)

где выражена в массах Земли, а – в радиусах Земли.

Аналогичным образом вычисляется гравитационное ускорение небесных тел в поле тяготения центрального тела на расстоянии от него

(8.14)

или

,

(8.15)

если мало в сравнении с .

Формула (8.15) позволяет также вычислить массу центрального тела по известному гравитационному ускорению .

Разделив равенство (8.15) на выражение (8.11), получим для вычисления простую формулу, в которой выражается в радиусах небесного тела.

Задания:

1. По движению Луны вокруг Земли определить массу Земли в системе СГС.

2. Вычислить круговую, параболическую и действительную скорости на среднем, перигелийном и афелийном расстояниях малой планеты: 1) Психеи; 2) Андромахи; 3) Эскулапии; 4) Урании; 4) Галатеи; 5) Глазенапии; 6) Полигимнии; 7) Фотографики.

3. Из сопоставления вычисленных в пункте 2 скоростей сформулировать вывод о признаках, характерных для движения тел по эллиптической орбите.

4. Определить в массах Земли массу Солнца и планеты: 1) Марса (по движению Фобоса); 2) Юпитера (по движению Ио); 3) Сатурна (по движению Титана); 4) Урана (по движению Ариэля); 5) Нептуна (по движению Тритона); 6) Марса (по движению Деймоса); 7) Юпитера (по движению Европы); 8) Сатурна (по движению Япета).

5. Определить ускорение силы тяжести на поверхности Солнца, Луны и той же планеты.

6. Вычислить свой вес на поверхности тех же небесных тел.

7. Вычислить вес космического корабля-спутника «Восток» на поверхности Луны и той же планеты (вес этого корабля на Земле равен 47 кН).

8. Определить ускорение силы тяжести на расстояниях, равных одному, четырем и девяти радиусам от поверхности тех же небесных тел.

9. Вычислить гравитационное ускорение Земли и той же планеты в поле тяготения Солнца.

10. Из анализа результатов пунктов 5-9 сформулировать выводы о причинах различия гравитационного ускорения в поле тяготения разных тел и графически изобразить зависимость гравитационного ускорения от соответствующих аргументов.

11. Вычислить ускорение силы тяжести на поверхности Солнца, луны и той же планеты при условии увеличения их диаметров вдвое и при сохранении их средней плотности неизменной.

12. Определить гипотетическую массу Земли, при которой Луна обращалась бы вокруг нее с современным периодом, но на вдвое большем расстоянии, и сравнить гравитационное ускорение Луны в этом случае с действительным его значением.

13. Вычислить гипотетическую массу Солнца, при которой та же планета, сохраняя свою орбитальную скорость, перестала бы быть его спутником.