уравнением моментов
в) дифференциал кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех действующих на систему внешних и внутренних сил, т. е.
dТ = dA (2.8)
называется уравнением механической энергии или теоремой живых сил.
Для любого мысленно выделяемого индивидуального объема V сплошной среды, ограниченного поверхностью S, уравнения (2.6) — (2.8) остаются в силе, если динамические величины определить следующим образом:
, ,
соответственно количество движения, момент количества движения и кинетическая энергия сплошной среды в объеме V;
соответственно сумма внешних объемных и поверхностных (непрерывно распределенных и сосредоточенных) сил к их моментов относительно некоторого неподвижного центра О, действующих на среду в объеме V;
сумма элементарных работ внешних и внутренних объемных и поверхностных сил.
В этом случае уравнения (2.6) и (2.7) являются основными постулируемыми динамическими соотношениями механики сплошной среды1, подобно второму закону Ньютона в механике материальной точки. Они служат исходными для описания любых движений любой сплошной среды, в том числе для разрывных движений и ударных процессов. 1 Эти уравнения для индивидуального объема сплошной среды не вытекают из подобных уравнений движения системы материальных точек, а являются самостоятельными.
Уравнение (4.8) одно из наиболее важных следствий уравнений (4.6) и (4.7) при непрерывных движениях в пространстве и времени.
При непрерывных движениях интегральная теорема движения (4.6) эквивалентна следующим трем дифференциальным уравнениям:
в цилиндрической системе координат при осевой симметрии
(2.9)
в декартовой системе координат
(i=1,2,3)
где проекции ускорения ai вычисляют по формулам (1.6).
Эти уравнения, связывающие компоненты vi вектора скорости и тензора напряжений {σij}, являются основной системой дифференциальных уравнений движения для любой сплошной среды, представляющих собой уравнение баланса количества движения (или импульса) для бесконечно малого объема среды.
Если движения частиц происходят без ускорения (ai=0) или они пренебрежимо малы, то уравнения (2.9) называются дифференциальными уравнениями равновесия.
При непрерывном движении сплошной среды теорема моментов количества движения (2.7) в дифференциальной форме сводится к выводу о том, что тензор напряжений симметричен, т. е. σij = σji. Если тензор напряжений симметричен, то уравнения моментов количества движения удовлетворяются тождественно.
Интегральная теорема живых сил (2.8) эквивалентна следующему дифференциальному уравнению:
dТ = dЕ = dA(e) (2.10)
где — соответственно изменение кинетической и потенциальной энергии бесконечно малого объема сплошной среды;
— элементарная работа внешних объемных и поверхностных сил, действующих на бесконечно малый элемент объема среды.
Уравнение (2.10) является следствием уравнений движения (2.9) и представляет собой уравнение баланса механической энергии. В общем случае оно не является законом сохранения энергии, но его можно так трактовать тогда, когда механическая энергия тела не переходит в тепловую или другие виды энергии. Общий закон сохранения энергии в этом случае распадается на два: закон сохранения механической энергии и закон сохранения энергии другого вида.
§ 3. УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ)
НБб-09 21.02
Уравнения неразрывности и движения (2.3) и (2.9), справедливые при непрерывных движениях любой сплошной среды, недостаточны для описания поведения конкретной среды, так как их число меньше числа входящих в них неизвестных (перемещения, деформации, скорости, напряжения и др.). Это понятно и с другой точки зрения. Различные реальные тела при одних и тех же внешних условиях ведут себя по-разному, что никак не отражено в общих уравнениях (2.3) и (2.9). Поэтому говорят, что такая система уравнений не замкнута. Построить замкнутую систему уравнений — значит построить математическую модель изучаемой сплошной среды. Для этого к имеющимся уравнениям необходимо присоединить так называемые механические уравнения состояния, которые выражают связь между кинематическими и динамическими величинами.
Механические свойства реальных тел довольно сложны, и поэтому уравнения состояния устанавливаются на основании опытных данных. В настоящее время для многих тел установлены определенные механические свойства и соответствующие им уравнения состояния.
В силу характерных особенностей различают математические модели твердых деформируемых тел, жидкостей и газов, хотя такое деление в определенном смысле условно.
С позиций механики сплошной среды твердые тела, жидкости и газы различаются по действию, оказываемому на них внешними силами, именно по неодинаковой сопротивляемости изменению формы. Газы практически не сопротивляются изменению формы, капельные жидкости сопротивляются изменению формы значительно слабее, чем твердые тела. Кроме того, они различаются по характеру и степени проявления упругих, вязких и пластических свойств, их влиянию на изучаемый процесс.
Все это находит отражение в уравнениях состояния, т. е. в зависимостях между компонентами тензоров напряжений σij и деформаций εij (или скорости деформаций ξij) или компонентами девиаторов напряжений sij и деформации eij (или скорости деформаций λij). По существу эти уравнения являются классификатором разделов механики сплошной среды.
При формулировке инженерных задач не следует стремиться к использованию уравнений состояния, описывающих все детали механического поведения тела под воздействием внешних сил. Наоборот, целесообразно выбрать простейшую математическую модель, которая отражала бы лишь самые существенные свойства. В противном случае решить задачу будет либо чрезвычайно сложно, либо вовсе невозможно.
Приведем наиболее известные уравнения состояния, используемые в гидромеханике и механике твердого деформируемого тела.
Следует обратить внимание, что структурное сходство этих моделей придает общность исходным уравнениям механики сплошной среды, несмотря на существенное различие в физическом поведении разных тел.
§ 4. УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ГИДРОМЕХАНИКИ
1. Модель идеальной жидкости– это простейшая механическая модель сплошной среды, для которой характерно отсутствие сопротивления (сил трения) при скольжении одного слоя жидкости по другому, отдельные части взаимодействуют только в виде нормального давления, т. е. в любой точке идеальной жидкости касательные напряжения
,
а нормальные напряжения
,
или через компоненты девиатора напряжений
.
Уравнением состояния для этой жидкости служит зависимость плотности ρ от давления р и температуры Т:
(2.11)
Для идеального газа приемлемо уравнение Клапейрона — Менделеева
Если плотность жидкости — функция только давления , то жидкость называют баротропной.
Когда имеет место степенная зависимость ( с и n -постоянные), то говорят, что движение происходит при политропическом процессе.
Для капельных жидкостей сжимаемость чрезвычайно мала, и в большом диапазоне изменения давления принимается линейная зависимость
где ρ0 - плотность, соответствующая давлению р0; Кж - модуль объемного сжатия.
Порядок модуля объемного сжатия жидкостей равен 104 n МПа.
Экспериментальные данные и общие физические соображения показывают, что любая среда при очень больших температурах и давлениях практически обладает свойствами идеальной жидкости.
В нормальных условиях модель идеальной жидкости широко используется при изучении движения многих жидкостей и газов вдали от твердых границ.
Одно из наиболее известных уравнений движения идеальной жидкости — закон Бернулли
который гласит, что при установившемся движении несжимаемой идеальной жидкости сумма геометрической (z),скоростной (v2/2g) и пьезометрической (p/ρg) высот вдоль линии тока остается величиной постоянной.
2. Модель - вязкой ньютоновской жидкости - следующая по сложности, которую используют, когда силами трения или напряжениями сдвиги при движении жидкости пренебречь нельзя, Уравнениями состояния для такой жидкости, кроме уравнения вида (2.11),
будет
(2.12)
т.е. прямо пропорциональная зависимость между компонентами девиатора напряжений и скоростей деформаций. Учитывая динамические величины и элементы теории напряжений, имеем равносильные уравнения, выраженные через компоненты тензоров напряжений и скоростей деформаций:
При плоском слоистом течении жидкости вдоль оси Оx1, когда v1 =v1(x1, х2), v2 = v3 = 0, нормальные и касательные напряжения равны:
Если, кроме того, жидкость несжимаемая и скорость v1 не зависит от х1, то уравнение состояния имеет простейший вид
Коэффициент пропорциональности μ называется коэффициентом вязкости или динамической вязкостью жидкости. Размерность этого коэффициента, согласно соотношениям (2.12), будет ???????????????
Динамическая вязкость воды при 20° С равна 10-3 Па·с.
Иногда пользуются отношением μ/ρ, которое называется кинематической вязкостью и обозначается буквой υ. Размерность этой величины м2/с.
Для газов и капельных жидкостей динамическая и кинематическая вязкости слабо зависят от давления, но сильно от температуры. Как видно из данных, приведенных ниже, оба коэффициента вязкости воды убывают с повышением температуры, а коэффициенты вязкости воздуха возрастают. Эта закономерность свойственна всем жидкостям и газам.
Т О С | ||||||
вода | ||||||
103µ, Па∙с | 1,792 | 1,005 | 0,656 | 0,469 | 0,357 | 0,284 |
106ν, м/с | 1,792 | 1,007 | 0,661 | 0,477 | 0,367 | 0,296 |
воздух | ||||||
105µ, Па∙с | 1,709 | 1,808 | 1,904 | 1,997 | 2,088 | 2,175 |
104ν, м/с | 0,132 | 0,15 | 0,169 | 0,188 | 0,209 | 0,23 |
Применяются различные эмпирические формулы зависимости вязкости газов и жидкостей от температуры, но из-за их сложности и малой общности предпочтительно пользоваться таблицами.
Свойствами ньютоновских жидкостей, описываемых уравнениями (2.12), обладает большинство чистых жидкостей и газов. Однако многие растворы, в том числе буровые и тампонажные, проявляют свойства, отличные от свойств ньютоновских жидкостей. Вязкость таких неньютоновских жидкостей зависит не только от температуры и давления, но и от скорости сдвига, деформации, времени, характера движения.
3. Модель неньютоновского поведения жидкостей.
Их основной признак заключается в нелинейной зависимости между компонентами девиаторов напряжений и скоростей деформаций.
Рис 2.1 Характерные зависимости напряжения сдвига от скорости деформации сдвига:
1 – псевдопластичная жидкость;
2 – дилатантная жидкость;
3 – ньютоновская жидкость.
На рис 2.1 показаны две характерные кривые зависимости напряжения сдвига от скорости деформации сдвига для неньютоновских жидкостей при плоском прямолинейном установившемся движении вдоль оси Ох1. Здесь же для сопоставления штрихпунктиром показана линейная зависимость для ньютоновской жидкости.
Поведение жидкости, описываемое кривой 1, называется псевдопластичным, а кривой 2 — дилатантным. Предлагалось много различных вариантов аппроксимации этих кривых. Но наиболее широкое применение получили двухпараметрические аппроксимации:
а) модель Шведова — Бингама
(2.13)
используемая для псевдопластичных жидкостей;
б) модель Освальда — Вейля, или степенная модель,
(2.14)
используемая для обоих типов жидкостей, где τ0 — предельное (или динамическое) напряжение сдвига; η — пластическая (или структурная) вязкость; k — показатель консистенции; п — показатель неньютоновского поведения: при п < 1 жидкость псевдопластичная, при п>1 — дилатантная.
Между параметрами моделей (2.13) и (2.14) легко устанавливается следующая связь:
где — скорость деформации сдвига, выше которой зависимость от практически линейная (см. рис. 10).
Так как в системе единиц СИ размерность величин [ ] = Па, [η] = Па·с, и [ ] = с-1, то размерность параметра [k] = Па·с.
Среда, для которой справедливо уравнение (2.13), называется вязкопластичной бингамовской жидкостью. Она характеризуется тем, что обладает пространственной жесткой структурой и благодаря этому сопротивляется внешнему воздействию до тех пор, пока вызванное им напряжение сдвига не превзойдет предельного значения, соответствующего этой структуре. После этого структура полностью разрушается и жидкость начинает вести себя как обычная ньютоновская вязкая жидкость при кажущемся напряжении, равном избытку действительного напряжения τ над предельным τ0. При уменьшении этого кажущегося напряжения до нуля пространственная жесткая структура восстанавливается.
Необходимо подчеркнуть, что реологические параметры η, τ0 и k, п для бурового и тампонажного растворов зависят от температуры, давления, состава и диапазона изменения скорости деформации сдвига , для которой справедливы модели (2.13) и (2.14).
4. Модель неньютоновских несжимаемых вязкопластичных жидкостей при ламинарном (структурном) режиме течения. Чтобы установить характер зависимости между касательными напряжениями и скоростями деформации сдвига и определить реологические параметры жидкости в заданных условиях, используют наиболее простые формы движения: установившееся ламинарное (слоистое) течение жидкости вдоль оси цилиндрической трубы или тангенциальное течение между двумя соосными цилиндрами, т. е. течения, при которых линии тока — прямые линии или концентрические окружности. Подобные течения реализуются в специальных приборах, называемых капиллярными и ротационными вискозиметрами соответственно.
При течении жидкости в трубке радиуса R задают объемный расход Q и измеряют разность давлений Δр в двух точках потока, расположенных вдали от концов трубки на расстоянии L друг от друга. В координатах средней скорости деформации сдвига и касательного напряжения у поверхности трубки строится график.
Этот график в общем случае необходимо перестроить в координатах локальной скорости деформации сдвига и напряжения τ, используя для этого уравнение :
Однако легко показать, что для вязких и вязкопластичных жидкостей, описываемых уравнениями (2.13) или (2.14), перестраивать график ~ τ в ~ τ нет необходимости, достаточно только реологические параметры τ0 и
- для модели Шведова — Бингама и
— в степенной модели, где и — параметры, определенные зависимостью от τ.
При течении жидкости между двумя вертикальными соосными цилиндрами длиной L, из которых наружный вращается с угловой скоростью ω, реологические параметры для бингамовской жидкости (2.13) могут быть определены из соотношения
а для жидкости, соответствующей степенной модели (2.14), из формулы
где М – вращающий момент, приложенный к наружному цилиндру; α = R0/R; R0 , R - радиусы внутреннего и внешнего цилиндров соответственно.
Для производственного течения несжимаемых вязкопластичных жидкостей используются следующие уравнения состояния, обобщающие уравнения (2.12) и модели (2.13), (2.14):
при
при (2.15)
и (2.16)
где H1, Т — интенсивность скоростей деформации сдвига при и интенсивность касательных напряжений.
При определенных нестационарных режимах течения буровые и тампонажные растворы могут проявлять дополнительные свойства неньютоновского поведения:
тиксотропность — зависимость жесткости структуры от продолжительности деформирования и предыстории движения;
запаздывание во времени установления деформации при действии постоянного напряжения или, наоборот, запаздывание во времени установления напряжений при постоянной деформации (релаксация напряжений) и т. д.
Количественное изучение этих и других важных свойств до настоящего времени остается в значительной степени неразработанным разделом механики жидкостей вообще, а для буровых и тампонажных растворов не выходит за пределы отдельных опытных иллюстраций.
Тот факт, что вязкие или вязкопластичные свойства, а следовательно уравнения состояния (2.15), (2.16), будут определяющими лишь при ламинарном (или структурном) режиме течения, т. е. тогда траектории частиц жидкости имеют вполне определенное, упорядоченное (регулярное) направление, - наиболее существенная особенность движения любой жидкости.
5. Модель неньютоновских вязкопластичных жидкостей при турбулентном режиме течения - неупорядоченном (нерегулярном), хаотическом движении. Опыты показывают, что по мере увеличения скорости течения всякое упорядоченное движение частиц жидкости постепенно нарушается и переходит в новую форму — турбулентное движение, при котором движение частиц становится неупорядоченным (нерегулярным), хаотическим.
Процессы возникновения и развития такого движения носят случайный характер и не поддаются строгому теоретическому анализу, требуя для своего изучения своеобразных статистических методов.
До настоящего времени нет ясного представления, как ламинарное движение вязкой жидкости становится турбулентным, несмотря на то, что первые научные наблюдения турбулентных движений были выполнены сто двадцать восемь лет тому назад!!! Еще сложнее проблема разрушения структурного режима течения буровых и тампонажных растворов и переход его в развитое турбулентное движение. Английский физик О. Рейнольдс, изучая движение воды цилиндрической трубе, в 1883 г. впервые обнаружил, что переход ламинарного движения в турбулентное наступает при достижении критического значения некоторого безразмерного параметра
(2.17)
где - средняя скорость потока; d — диаметр трубы; — соответственно плотность и вязкость жидкости.
По опытным данным О. Рейнольдса, нижняя граница критического числа Reкр составила 2000, а верхняя — 13000. В последующем более тщательными опытами было установлено, что для ньютоновских жидкостей наиболее вероятная нижняя граница равна 2320, а верхнюю можно довести до 50000. Оказалось, что запаздывание ламинарного течения связано с удалением возмущений на входе в трубу. Чем плавнее вход в трубу, тем позже наступает турбулентный режим.
Опытами было установлено также, что на величину верхней границы Reкр сильное влияние оказывают отклонение трубы от цилиндрической формы, заметная шероховатость поверхности трубы, наличие в жидкости твердых тел, коллоидных или дисперсных образований, изменение граничных условий, действие внешних возмущений и другие факторы.
Для вязкопластичных сред переход от структурного режима
течения к турбулентному принято определять с помощью обобщенного параметра Рейнольдса:
для степенной модели
(2.18)
для модели Шведова — Бингама
(2.19)
Нижняя граница критических значений обобщенных параметров Rе', Rе* равна 2100.
Наряду с изучением переходных процессов в цилиндрических трубах были изучены движение жидкостей в пространстве между соосными цилиндрами в осевом и тангенциальном направлениях и при обтекании твердых тел набегающим потоком жидкости, а также обнаружено качественное сходство переходных процессов, определяемых по тем же параметрам Рейнольдса (2.18) и (2.19), где под d следует понимать характерное сечение потока или линейный размер тел.
Изучение переходных режимов и практическое определение Rе базируются главным образом на установлении опытной зависимости коэффициента гидравлического сопротивления от параметра Рейнольдса, соответствующего данной реологической модели.
Отличительным признаком турбулентных течений является зависимость скорости от времени в любой точке потока. Для количественного описания турбулентных течений О. Рейнольдc предложил действительные скорости потока vi (i = 1, 2, 3) в данной точке представлять в виде суммы средних во времени скоростей и пульсационных скоростей (пульсаций) , т. е. . Аналогично представляется и давление . Форма уравнений движения и неразрывности сохраняется. В этом случае следует только заменить скорости vi и давление р средними скоростями и давлениями , а вместо напряжений использовать сумму
где — компоненты напряжений, связанные со средними скоростями уравнениями состояния (2.12), (2.15) или (2.16); — дополнительные компоненты напряжений, возникающие вследствие пульсаций, они называются напряжениями Рейнольдса.
Иначе говоря, доказана возможность применения основных уравнений движения механики сплошной среды для решения задач турбулентного течения при условии, что величины vi, р и , входящие в эти уравнения, заменены соответственно на величины , и .
Предложено несколько полуэмпирических уравнений состояния для напряжений Рейнольдса . Наиболее известно и широко используется уравнение Прандтля:
(2.20)
где l —коэффициент, характеризующий геометрическую структуру турбулентного потока, называемый путем смешения (перемешивания) или масштабом турбулентности, зависящий от расстояния до стенки канала.
В частном случае при течении жидкости между параллельными плоскостями в направлении оси Ох1 уравнение (2.20) принимает вид
Прандтль, анализируя свойства турбулентного потока в трубах вблизи твердой стенки, принимал l = 0,36s, где s — расстояние от стенки трубы.
6. Модель неньютоновских многокомпонентных смесей вязкопластичных жидкостей при любых режимах течения. Таким образом, общая задача гидромеханики в определении компонент vi (i = 1, 2, 3) вектора скорости , компонент симметричного девиатора напряжений sij =sji (i, j=1, 2, 3), давления р и плотности ρ жидкости в любой точке области.
В общем случае эти одиннадцать искомых функций должны в ламинарном режиме течения удовлетворять следующей системе дифференциальных уравнений:
движения
(i=1, 2, 3); (2.21)
неразрывности движения или сохранения массы
(2.22)
и механического состояния
s = f(p); (2.23)
(2.24)
Подставляя в уравнения (2.21) соотношения (2.24)можно получить уравнения Навье — Стокса, Генки — Ильюшина и др.
При турбулентных течениях жидкостей и газов, согласно сказанному выше, система уравнений (2.21) — (2.24) сохраняет свой вид, но под величинами vi, , р необходимо понимать усредненные по времени значения , , , где напряжения Рейнольдса связаны с компонентами средних скоростей деформаций , например, уравнением Прандтля (2.20).
Для удобства выпишем обозначения основных величин:
- компоненты девиаторов напряжений и скоростей деформаций соответственно;
- символ Кронекера;
— соотношения Коши; (2.25)
— скорость деформации объема;
— проекции объемных сил и ускорении;
-(2.26)
интенсивность касательных напряжении;
- (2.27)
интенсивность скорости деформации сдвига при ξ=0.
Единственность и однозначность решения системы дифференциальных уравнений (2.21) - (2.24) возможны лишь при выполнении граничных условий:
— на поверхности контакта жидкость - твердое тело и (или) p=p0 - на свободной поверхности, где , р0 - заданные величины скорости твердого тела и внешнее давление.
Общего аналитического решения системы уравнений (2.21) — (2.24) не существует, и, как правило, в этом нет нужды, если речь идет о прикладных задачах. Обычно при решении конкретной инженерной задачи вводят ряд геометрических и физических допущений, не умаляющих, однако, основного характерного признака движения. Здесь важно свести уравнения и граничные условия к простейшему виду так, чтобы сохранить лишь главную цель задачи. Если все же граничная задача оказывается сложной, неподдающейся точному аналитическому решению, то применяют какой-либо приближенный метод решения или ставят эксперимент, используя для этого основные положения теории подобия.
В любом случае теоретической основой решения любой задачи гидромеханики является система уравнений (2.21) — (2.24) в том ином упрощенном виде.
Дата добавления: 2015-09-28; просмотров: 730;