Объем и площадь n-мерной сферы
На основании размерности для объема n-мерной сферы радиусом r, для объема шарового слоя толщиной dr и для площади сферы получаем
,
,
.
Найдем постоянную , вычислив сходящийся интеграл
по всему пространству в декартовых и сферических координатах.
В декартовых координатах
,
,
тогда
,
где использован интеграл Пуассона (доказывается в курсе ММФ)
.
В сферических координатах
,
тогда
,
где использовано
.
Гамма-функция вычисляется по формулам
Г(n + 1) = n!, ,
Г(z + 1) = z Г(z),
,
, , ,
при .
Сравниваем результаты в декартовых координатах
и в сферических координатах
,
находим
.
В результате объем n-мерного шара, шарового слоя и площадь сферы
, (П.2.1)
. (П.2.2)
. (П.2.3)
В частности при с учетом получаем известные из школы соотношения
, , .
Эллипсоид с полуосями удовлетворяет уравнению
.
Сравниваем с уравнением сферы
,
обобщаем (П.2.1)
,
находим объем n-мерного эллипсоида
. (П.2.1а)
Дата добавления: 2015-09-21; просмотров: 4274;