СоотношениЕ неопределенностей

Для измерения величины A, описываемой эрмитовым оператором , частица в состоянии приводится во взаимодействие с соответствующим измерительным устройством, описываемом классической физикой. Его показание дает значение измеряемой величины. Повторяем измерение N раз, находим среднее значение и дисперсию

,

.

Если исходное состояние частицы совпадает с одной из собственных функций оператора , то после каждого измерения частица оказывается в том же состоянии, результаты измерений одинаковые и погрешность равна нулю

, .

Для измерения величины , описываемой оператором , используется другое измерительное устройство. Если и коммутируют, то наборы их собственных функций {Ψ_n} совпадают, соответствующие измерения совместимы. В состоянии результаты однозначные , , их точность не ограничена.

Если эрмитовые операторы и не коммутируют

, (2.29)

где – эрмитовый оператор (доказательство проводится на практических занятиях), то и имеют разные наборы собственных функций. Измерительные устройства для A и B несовместимы, действие одного нарушает работу другого. Так, на первой лекции было показано, что при измерении координаты частицы с помощью экрана со щелью происходит дифракция волны и растет неопределенность импульса частицы. Измерить A и B одновременно с высокой точностью невозможно. В состоянии найдем связь между флуктуациями результатов измерений, то есть абсолютными погрешностями:

,

,

где дисперсия в нормированном состоянии по определению среднего равна

,

.

Здесь использованы операторы отклонения от среднего и .

Ограничение коммутатора. Среднее от квадратичной формы эрмитовых операторов и по любому состоянию Ψ не может быть отрицательным, действительно:

. (2.30)

Во втором равенстве использована операция эрмитового сопряжения. Упрощаем левую сторону (2.30), учитывая эрмитовость операторов, и получаем

.

В результате коммутатор

ограничен сверху

. (2.31)

Соотношение неопределенностей Гейзенберга. В качестве и выбираем операторы относительного отклонения от среднего

, , (2.32)

удовлетворяющие

.

С учетом

,

,

находим

, , .

Из (2.31) получаем

, (2.33)

где – модуль среднего от коммутатора операторов и по рассматриваемому состоянию . Для коммутирующих операторов , и измерения a и b можно выполнить с неограниченной точностью.

Соотношение неопределенностей координата-импульс. Коммутатор

сравниваем с (2.29)

,

получаем

, ,

из (2.33) находим

(2.37)

– чем точнее измеряется координата частицы, тем неопределеннее импульс, и наоборот. Локализация частицы приводит к увеличению неопределенности ее импульса и кинетической энергии. Аналогичное соотношение было получено в полуклассической квантовой механике.

Соотношение неопределенностей энергия-время. Средняя скорость частицы выражается через путь и время

.

Флуктуация кинетической энергии

,

тогда

.

Учитывая (2.37), находим

. (2.39)

Полученный результат имеет следующий смысл:

– чем точнее измеряется энергия, тем больший промежуток времени необходим для измерения;

– чем уже энергетический уровень δЕвозбужденного состояния, тем больше время его жизниδt.

Соотношение неопределенностей установил Гейзенберг в 1927 г.

Вернер Гейзенберг (1901–1976)