Дзета функция.

Определение. Дзета функция Римана (Эйлера) – это сумма ряда:

Утверждение. 1) Ряд сходится равномерно внутри полуплоскости .

2) Функция голоморфна в этой полуплоскости.

Доказательство. 1) Запишем . Напишем: . Теперь: сходится т.к. q > 1. Тогда по признаку сравнения получаем наше утверждение: сходится равномерно для .

2) Следует из 1ой теоремы Вейерштрасса.

Лемма. Справедлива формула: при условии, что .

Доказательство. - по определению гамма функции, поэтому: по теореме Б Леви и по теореме Лебега мы имеем право перейти к пределу под знаком интеграла.