Гамма функция.

Определение. Гамма функция (или интегралом Эйлера 2ого рода) – это следующий несобственный интеграл, зависящий от параметра:

Утверждение. 1)Интеграл сходится равномерно внутри правой полуплоскости .

2)Функция голоморфна в .

Доказательство. 1) Запишем: Возьмём числа: Пусть Тогда функция интегрируема на интервале (0,1) сходится равномерно для Пусть интеграл сходится равномерно на при .

2) Следует из 1ой теоремы Вейерштрасса.

Лемма. Справедлива формула приведения: .

Доказательство. (*) = 0 т.к. на бесконечности всех убивает exp, а в 0 в силу условия .

Следствие. .

Доказательство. По индукции из леммы.

Теорема. Гамма функция аналитически продолжается на всю комплексную плоскость за исключением точек которые являются её простыми полюсами. При этом вычет функции -

Доказательство. Из леммы по индукции Перепишем эту формулу: А где эта функция голоморфна на самом деле? В - полюсы первого порядка. Аналитическое продолжение доказано. Осталось только вычеты посчитать:

Следствие. Мах и Мin всё ближе и ближе приближаются к оси Ох со стремлением .

Задача. Доказать формулу дополнения: .