Зависимые и независимые случайные величины.
Пусть и непрерывные случайные величины, допускающие непрерывное совместное распределение с плотностью Мы говорим, что случайные величины и независимы, если закон распределения одной из них не зависит от того, какое значение приняла другая:
; (1)
(2)
Теорема 1. 1) Случайные величины и независимы тогда и только тогда, когда
(3)
2)Случайные величины и независимы тогда и только тогда, когда
(4)
Доказательство. Допустим, что и независимы. Тогда имеет место равенство (1). Это означает, что
.
Дифференцируя по получаем, что , или
Таким образом, необходимость (4) доказана. Но тогда
Таким образом, необходимость (3) доказана.
Обратно, пусть имеет место (3). Тогда
Дифференцируя последовательно по и , получаем (4) , откуда
, (5)
и тем самым Таким образом, мы доказали достаточность как (3), так и (4).
Замечание 1. Как следует из доказательства, (1) влечет за собой (2),а (2)-(1).
Дата добавления: 2015-09-18; просмотров: 541;