Двумерные случайные величины.
Часто приходится решать задачи, в которых рассматриваются события, описываемые не одной, а несколькими — в частности, двумя случайными величинами. Так если станок-автомат штампует цилиндрические валики, то диаметр валика и его высота , образуют систему двух случайных величин .
Двумерной случайной величиной называют систему из двух случайных величин , для которой определена вероятность совместного выполнения неравенств и , где x и y - любые действительные числа.
Функция двух переменных
(3.17)
определенная для любых x и y, называется функцией распределения системы двух случайных величин .
Будем рассматривать и как декартовы координаты точки на плоскости. Точка может занимать то или иное положение на плоскости . Тогда функция распределения даст вероятность того, что случайная точка попадает в область , изображенную на рис. 3.15.
Двумерная случайная величина называется дискретной, если и - дискретные величины.
Пусть возможные значения и образуют, например, конечные последовательности и . Возможные значения двумерной случайной величины имеют вид , где ; . Обозначим через вероятность того, что :
Функция распределения F(х, у) имеет вид
где двойная сумма распространена на те i и j, для которых x i< x и yj < y.
Двумерную случайную величину так же, как и одномерную, можно задавать таблицей. Первая строка таблицы содержит возможные значения случайной величины , а первый столбец — возможные значения . В остальных клетках таблицы указаны соответствующие вероятности, причем их сумма всегда равна единице. В качестве примера рассмотрим двумерную случайную величину, заданную следующей таблицей:
X2\ X1 | -1 | 0 | 1 |
p11=0,05 | p12=0,20 | p13=0,30 | |
p21=0,10 | p22=0,20 | p23=0,15 |
Сумма всех вероятностей
Две дискретные случайные величины и называются независимыми, если для всех пар i, j выполняется соотношение
Пример 1. Две игральные кости бросают по одному разу. Обозначим через число очков, выпавшее на первой кости, а через — на второй; тогда — двумерная дискретная величина. Покажем, что величины и независимы.
Решение: Так как каждая из величин и независимо друг от друга может принимать 6различных значений, то число различных значений двумерной случайной величины равно 36. Все эти значения, очевидно, равновероятны. Поэтому
С другой стороны, и . Таким образом:
Так как вероятность появления равна произведению их вероятностей, то величины независимы.
Двумерная величина называется непрерывной, если существует такая непрерывная неотрицательная функция двух переменных, что вероятность того, что точка содержится в некоторой области плоскости , равна двойному интегралу от функции по области :
(3.18)
Функция называется плотностью распределения вероятностей системы двух величин и . Отсюда, в частности, следует, что если область имеет вид, изображенный на рис. 14, то функцию распределения системы случайных величин можно записать следующим образом:
(3.19)
Непрерывные случайные величины и называются независимыми, если , где и - соответственно плотности распределения вероятностей случайных величин и . В этом случае
Зная функцию распределения F(х,у) двумерной случайной величины , легко найти как функцию распределения, так и плотность распределения каждой из случайных величин и в отдельности.
Действительно, пусть F1(x) - функция распределения случайной величины . Тогда . Так как в этом случае может принимать любое значение, то ясно, что
Следовательно, запишем:
Дифференцируя последнее равенство по x, согласно правилу дифференцирования интеграла по переменной верхней границе получим:
(3.20)
Аналогичным образом получаем
и, следовательно,
(3.21)
Таким образом, чтобы получить плотность распределения одной из составляющих двумерной случайной величины, надо проинтегрировать в границах от до плотность распределения системы по переменной, соответствующей другой случайной величине.
Пример 2. Двумерная случайная величина имеет плотность распределения
Найти:
1) вероятность р попадания случайной точки в квадрат изображенный на рис. 3.16;
2) функцию распределения F(х,у);
3) плотности распределения каждой величины и в отдельности.
Решение:
1) Вероятность р попадания случайной точки в квадрат изображенный на рис. 3.16, согласно формуле (3.18), равна:
2) Используя соотношение (3.19), находим функцию распределения F(x,y):
3) Плотность распределения случайной величины находим по формуле (3.20):
Аналогичным образом, используя формулу (42), получим
Легко убедиться в том, что случайные величины и независимы, так как
По определению двумерная случайная величина распределена нормально, если плотность распределения системы величин и имеет вид:
где , а R - некоторая постоянная. Можно показать [используя формулы (3.19) и (3.20)], что каждая из величин и распределена нормально:
На доказательстве этого факта мы не будем останавливаться. В частности, если и независимы, то
Отсюда следует, что R=0, и, следовательно:
Нетрудно убедиться в том, что справедливо и обратное утверждение: если R=0, то и — независимые случайные величины.
Дата добавления: 2015-09-11; просмотров: 863;