Зачетная работа

Численное решение системы дифференциальных уравнений (колебание с одной степенью свободы)

Цель. Изучение численных методов решения дифференциальных уравнений второго порядка и систем дифференциальных уравнений первого порядка.

Задание. Численно и аналитически найти а) закон движения материальной точки на пружинке х(t), б) закон изменения силы тока I(t) в колебательном контуре (RLC - цепи) для заданных в табл.10,11 режимов. Построить графики искомых функций.

Варианты заданий.Варианты заданий и номера режимов приведены в табл.11.

Таблица 10

№	Режим
	свободные незатухающие колебания
	затухающее колебательное движение
	апериодическое движение
	предельное апериодическое движение
	вынужденное колебание без сопротивления
	вынужденное колебание без сопротивления, явление резонанса
	вынужденное колебание с линейным сопротивлением
	вынужденное колебание с линейным сопротивлением, явление резонанса

Таблица 11

Вар.	Задание	Вар.	Задание
	а) 1,2,5		б)1,2,6
	а) 1,3,6		а) 1,4,7
	б)1,3,7		б)1,2,7
	а) 1,4,8		а) 1,2,5
	б)1,2,8		б)1,4,6
	а) 1,4,7		а) 1,3,5
	б)1,3,6		б)1,3,8
	а) 1,4,5		б)1,4,5

Продолжение таблицы 11

Вар.	Задание	Вар.	Задание
	б)1,3,8		а) 1,3,6
	а) 1,3,5		б)1,4,7
	б)1,4,6		а) 1,2,8
	а) 1,2,7		б)1,4,8
	б)1,2,5		а) 1,3,6
	а) 1,2,6		б)1,3,7
	б)1,4,7		а) 1,2,5

Математическое описание.Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида

F(x,y,у',y")=0 (1) или y"=f(x,y,y'). (2)

Функция y(x), при подстановке которой уравнение обращается в тождество, называется решением дифференциального уравнения.

При численном решении ищется частное решение уравнения (2), которое удовлетворяет заданным начальным условиям, то есть решается задача Коши.

Для численного решения дифференциальное уравнение второго порядка преобразуется в систему двух дифференциальных уравнений первого порядка и приводят эту систему к машинному виду (3). Для этого вводится новая неизвестная функция , слева в каждом уравнении системы оставляют только первые производные неизвестных функций, а в правых частях производных быть не должно

. (3)

Функция в систему (3) введена формально для того, чтобы методы, которые будут показаны ниже, могли быть использованы для решения произвольной системы дифференциальных уравнений первого порядка. Рассмотрим несколько численных методов решения системы (3). Расчетные зависимости для i+1 шага интегрирования имеют следующий вид.

1.Метод Эйлера.

у1,i+1=у1,i+hf1(xi, y1,i, yi),

уi+1=уi+hf2(xi, y1,i, yi),

xi+1=xi+h.

2. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

у1,i+1=у1,i+(m1+2m2+2m3+m4)/6,

уi+1=уi+(k1+2k2+2k3+k4)/6,

m1=hf1(xi, y1,i, yi),

k1=hf2(xi, y1,i, yi),

m2=hf1(xi+h/2, y1,i+m1/2, yi+k1/2),

k2=hf2(xi+h/2, y1,i+m1/2, yi+k1/2),

m3=hf1(xi+h/2, y1,i+m2/2, yi+k2/2),

k3=hf2(xi+h/2, y1,i+m2/2, yi+k2/2),

m4=hf1(xi+h, y1,i+m3, yi+k3),

k4=hf2(xi+h, y1,i+m3, yi+k3),

xi+1=xi+h,

где h - шаг интегрирования. Начальные условия при численном интегрировании учитываются на нулевом шаге: i=0, x=x0, y1=y1,0, y=y0. Рассмотрим более подробно порядок составления дифференциальных уравнений и приведения их к машинному виду для описания движения тела на пружинке и RLC-цепи.

a) Движение материальной точки на пружинке. При выполнении этого задания необходимо рассмотреть движение материальной точки массой m на пружинке жесткостью с в среде с линейным сопротивлением под действием синусоидальной вынуждающей силы по горизонтальной поверхности (рис.8).

Рис.8

Уравнение движения (второй закон Ньютона) для материальной точки с учетом действия сил линейного сопротивления ( ), упругости пружины ( ) и синусоидальной силы ( ) может быть записано следующим образом

, (4)

где m=1+int(n/2) - масса материальной точки, b - коэффициент сопротивления, с=2+int(n/3) - жесткость пружины, х - координата (х=0 в положении равновесия точки), t - время, p - частота вынужденных колебаний, Fo=n - амплитуда силы, n - номер варианта, int - целая часть числа. Параметры b,p и начальные условия выбираются самостоятельно c учетом рассматриваемого режима.

б) Колебательный контур (RLC цепь) показан на рис.9. Рис.9

Уравнение падения напряжения в цепи переменного тока имеет вид

, (5)

где L=1+int(n/2) - индуктивность, R - сопротивление, C=2+int(n/3) - емкость конденсатора, q - заряд, Uo=n-амплитуда напряжения, p - частота, - сила тока. Параметры R,p и начальные условия выбираются самостоятельно с учетом рассматриваемого режима. Содержание отчета:

1. Название, цель работы и задание.

2. Математическое описание, алгоритм (структограмма) и текст программы.

3. Шесть графиков зависимости (три точные и три приближенные) x(t) или I(t), выводы по работе .

Список литературы

1. Дьяконов В.П. Справочник по алгоритмам и программам на языке бейсик для персональных ЭВМ. - М.:Наука,1987.-240 с.

2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров.- М.:Наука,1984.-832 с.

3. Зельдович Я.Б., Яглом И.М. Высшая математика для начинающих физиков и техников.- М.:Наука,1982.-512 с.

Дата добавления: 2015-09-18; просмотров: 651;