ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Словарная функция f: A* B* вычисляется автоматом Â = (A, B, Q, j, y) из начального состояния qr

Словарная функция f: A^* B^* вычисляется автоматом Â = (A, B, Q, j, y) из начального состояния q_r, если для любого слова A^* выполняется соотношение:

" Î A^* (f( ) = Û Â из начального состояния q_r перерабатывает в ).

Для функции, которая вычисляется автоматом Â из состояния q_r, применяется обозначение .

Пример. Рассмотрим словарную функцию f: A^* ® B^*, где A = {a, b}, B = {a, b}, которая заменяет в произвольном входном слове A^* каждое третье вхождение символа b на символ a, а все остальные символы входного слова функция оставляет без изменения.

Диаграмма переходов автомата, который из начального состояния q₀ вычисляет эту функцию, приведена на рис. 7.2.

b(b)

q₀q₁

a(a) a(a)

b(a) b(b)

a(a) q₂

Рис. 7.2

Уточним понятие функций, вычисляемых конечными автоматами, для числовых функций.

Пусть входным и выходным алфавитами автомата является множество {0, 1}. Тогда входные и выходные слова этого автомата можно интерпретировать как двоичные записи целых неотрицательных чисел в двоичной системе. Возможно, что такие записи имеют незначащие нули.

Для конечных автоматов естественно подавать на вход записи чисел в двоичной системе справа налево, поскольку многие традиционные схемы арифметических вычислений предполагают обработку цифр записей чисел, начиная с младших разрядов записей чисел.

Поскольку входные слова конечных автоматов, в том числе и такие, которые представляют числа, по определению поступают на вход автоматов в противоположном порядке, то будем представлять числа, подаваемые на входы автоматов в виде слов, являющихся инвертированными записями таких чисел.

Пусть n - произвольное целое неотрицательное число. Обозначим как - всякую инвертированную двоичную запись этого числа, в которой допускается существование незначащих нулей.

Незначащие нули приходится использовать из-за того, что реальные арифметические функции могут отображать числа одной длины в числа, записи которых имеют другую длину (большую или меньшую). Поскольку длины входных слов и выходных слов автоматов всегда совпадают, то в дальнейшем двоичные числа всегда будут представляться с точности до необходимого числа незначащих нулей в них, что позволяет вычислять числовые функции с помощью автоматов и тогда, когда длина записи числа результата больше длины числа, исходного данного.

Если числовая функция f отображает N^kв N, то всякий набор чисел, принадлежащий области определения этой функции, будем представлять словом, символами которого являются последовательности значений одноименных разрядов чисел этого набора.

Пусть n₁, . . . , n_k это числа из N, представленные записями равной длины, получаемыми добавлением произвольного количества незначащих нулей.

Запись обозначает слово в алфавите
{0, 1}^k, первый символ которого представляет значения самого младшего разряда всех чисел n₁, . . . , n_k, второй - значения следующего разряда этих чисел и так далее. Заметим, что {0, 1}^k это все k-символьные последовательности из нулей и единиц.