Способ замены плоскостей проекций

Сущность способа замены плоскостей рассмотрим на примере. На (рис. 5.1). дана точка А в системе плоскостей проекций p₁ / p₂. Заменим одну из них, например p₂, другой вертикальной плоскостью p₄ ^ p₁, т.е. перейдём к новой системе плоскостей проекций p₄ / p₁. Определим новую фронтальную проекцию точки А₄, использую для этого неизменность координаты Z точки А, т.к. горизонтальная плоскость проекций p₁ является общей для исходной и новой системы. На эпюре из горизонтальной проекции А₁ проведём линию связи, перпендикулярную к новой оси x₁₄ и отложим координату Z точки А.

Рис. 5.1. Способ замены плоскостей.

Способом замены плоскостей определяют натуральную величину прямой, плоскости, определяют расстояние между прямыми, плоскостями и т.д. При решении задач приходится менять последовательно либо одну, либо две плоскости проекций так, чтобы геометрические объекты оказались в частном положении относительно новой системы.

Рассмотрим задачи на преобразование прямой и плоскости:

Задача: Дана прямая АВ общего положения (рис. 5.2). Преобразовать прямую АВ в проецирующую прямую.

Рис. 5.2.

Решение: Прямую общего положения возможно преобразовать в проецирующую прямую только двумя последовательными заменами плоскостей проекций. Т.к. плоскость проекций, перпендикулярная к прямой общего положения, не будет перпендикулярна не к p₁, не к p₂. Первоначально заменим плоскость проекций p₂ на p₄ (^ p₁) параллельно прямой АВ, новая ось проекций x₁₄ || А₁В₁. Построим новую фронтальную проекцию А₄В₄, отложив неизменную координату Z. Прямая АВ преобразована в новой системе p₁ / p₄ во фронталь, А₄В₄ – натуральная величина отрезка прямой, а угол a - угол наклона прямой к плоскости проекций p₁. Затем заменим плоскость проекций p₁ на p₅ (^ p₄) перпендикулярно прямой АВ, новая ось проекций x₄₅ ^ А₄В₄. Построим новую горизонтальную проекцию А₅В₅, отложив неизменную координату Y, прямая АВ, Выражается в точку A₅ º B₅ и является горизонтально – проецирующей прямой в новой системе плоскостей p₄ / p₅.

Задача: Даны две параллельные прямые линии АВ и СD (рис. 5.3). Определить расстояние между ними.

Рис. 5.3.

Решение: Чтобы определить расстояние между параллельными прямыми, необходимо преобразовать их в проецирующие прямые. Этого можно добиться двумя последовательными заменами плоскостей проекций. Первая замена плоскости проекций p₁ на p₅ параллельно данным прямым, новая ось проекций Х₂₅ || С₂D₂ || А₂В₂. Прямые АВ и СD преобразованы в новой системе плоскостей проекций p₂ / p₅ в горизонтали. Вторая замена плоскости проекций p₂ на p₄ перпендикулярно прямым АВ и СD, новая ось проекций x₄₅ ^ С₅D₅ ^ (А₅В₅) На новую горизонтальную плоскость p₅ прямые АВ и СD проецируются в точки A₅ º B₅, C₅ º D₅. Измеряем расстояние между точками.

Задача: Дана плоскость, треугольник АВС общего положения (рис. 5.4). Определить натуральную величину треугольника АВС.

Рис. 5.4.

Решение: Чтобы определить натуральную величину плоскости, необходимо расположить её параллельно плоскости проекций. Плоскость общего положения невозможно сразу преобразовать в плоскость уровня, т.к. параллельная ей новая плоскость проекций не будет перпендикулярна ни к p₁, ни к p₂. Поэтому, необходимо выполнить две последовательные замены плоскостей проекций, преобразовав данную плоскость сначала в проецирующую, а затем в плоскость уровня.

Заменим плоскость проекций p₂ на p₄ перпендикулярно треугольнику АВС. Чтобы определить направление p₄, проведём в треугольнике АВС горизонталь h. Новая плоскость проекций p₄ будет перпендикулярна горизонтали, новая ось проекций x₁₄ ^ h₁. На линии связи откладываем неизменные координаты Z_A, Z_B, Z_C. Новая фронтальная проекция A₄B₄C₄ в системе плоскостей p₁/p₂ представляет собой прямую линию, плоскость (АВС) преобразована во фронтально проецирующую.

Затем заменим плоскость проекций p₁ на плоскость p₅ параллельно треугольнику АВС, новая ось проекций x₄₅ || А₄В₄С₄, неизменной остаётся координата Y. В новой системе плоскостей p₄ / p₅ треугольник АВС является горизонтальной плоскостью уровня. Новая горизонтальная проекция А₅В₅С₅ – натуральная величина треугольника АВС.