Теоретические упражнения.

1. Ряды и сходятся. Доказать, что ряд сходится, если .

У к а з а н и е. Рассмотреть неравенства .

2. Ряд сходится. Доказать, что ряд тоже сходится. Показать, что обратное утверждение неверно.

3. Ряды и сходятся. Доказать, что ряд тоже сходится.

У к а з а н и е. Доказать и использовать неравенство .

4. Ряды и сходятся. Доказать, что ряд тоже сходится.

5. Пусть ряд сходиться и . Можно ли утверждать, что сходиться ряд ?

Рассмотреть пример и .

6. Пусть ряд сходиться равномерно на отрезке . Доказать, что ряд так же сходиться равномерно на этом отрезке.

7. Может ли функциональный ряд на отрезке:

а) сходиться равномерно и не сходиться абсолютно,

б) сходиться абсолютно и не сходиться равномерно?

Рассмотреть примеры:

a) , отрезок произвольный;

б) , отрезок .

8. Показать, что функция всюду непрерывна.

9. Доказать, что ряд сходится равномерно в интервале . Можно ли его дифференцировать в этом интервале?

10. Доказать, что если ряд сходиться в точке , то он сходиться абсолютно .