История развития теории механических колебаний

Теория механических колебаний является одновременно и разделом механики и частью общей теории колебаний, которая является частью прикладной математики и математической физики и связана с наиболее сложным математическим аппаратом. Первой задачей теории колебаний стала задача о колебаниях математического маятника, решением которой занимался Г. Галилей. Теорию колебаний физического маятника разработал Х. Гюйгенс и на основании ее создал маятниковые часы (1657 г.).

Механика Ньютона послужила основой для решения многих частных задач теории колебаний. Большой вклад в ее основы внес Л. Эйлер, который в работе «Корабельная наука» заложил основы теории статической устойчивости и теории малых колебаний. Д'Аламбер в своих многочисленных трудах рассмотрел отдельные задачи, такие как колебания маятника, плавающего тела, пружины и т.д. Ш. Кулон использовал крутильные колебания проволоки для определения жесткости своих знаменитых крутильных весов.

Среди задач первого периода на колебания упругих тел особое место занимает задача о поперечных колебаниях натянутой струны. Экспериментальные исследования были проведены И. Бекманом и М. Мерсенном. Установленные ими закономерности были теоретически подтверждены Бруком Тейлором, который свел задачу к системе с одной степенью свободы и пользуется решением соответствующего дифференциального уравнения.

В развернувшейся позже острой полемике между д'Аламбером, Эйлером, Д. Бернулли и Лагранжем не только была решена эта задача, но и сформировались понятия периода и частоты колебаний, формы колебаний, вошел в обиход термин малые колебания, сформулирован принцип суперпозиции решений, сделаны попытки разложения решения в тригонометрический ряд. Для развития механики важным результатом стало применение принципа д’Аламбера для записи дифференциальных уравнений движения, а для математики – решение дифференциальных уравнений в частных производных и уточнение важнейшего в анализе понятия – функции.

Таким образом, в течение XVIII века в теории колебаний были выработаны основные физические схемы и разъяснены принципы, существенные для математического анализа проблем. Однако ученые, рассматривая только частные случаи, не создали единой теории колебаний. Основой для создания теории малых (линейных) колебаний стала «Аналитическая механика» Лагранжа. В ней Лагранж получил уравнение частот в общем виде. Вместе с тем он повторяет ошибку, допущенную д'Аламбером в 1761 г., о том, что кратные корни векового уравнения соответствуют неустойчивому решению, так как якобы при этом в решении появляются вековые или секулярные члены, содержащие t не под знаком синуса или косинуса. В связи с этим и д'Аламбер, и Лагранж считали, что уравнение частот не может иметь кратных корней (парадокс д'Аламбера – Лагранжа). Достаточно было Лагранжу рассмотреть хотя бы сферический математический маятник или колебания стержня, сечение которого является, например, круглым или квадратным, чтобы убедиться, что кратные частоты в консервативных механических системах возможны.

Научный авторитет д'Аламбера и Лагранжа был так высок, что эту ошибку повторили и Лаплас, и Пуассон, а исправили ее только лишь спустя почти 100 лет независимо друг от друга в 1858 г. К. Вейерштрасс и, через несколько месяцев, в 1859 г. – Осип Иванович Сомов(1815–1876). О. И. Сомов внес большой вклад в развитие теории колебаний дискретных систем. Он показал, что корни векового уравнения вещественны и положительны. Кратные корни в нем возможны и не приводят к неустойчивости движения, так как речь идет не об одном уравнении, а о системе уравнений.

Следующим важным шагом в развитии теории колебаний были работы Рэлея, особенно его фундаментальный труд «Теория звука» ‑ первое систематическое изложение общего учения о колебаниях. Рэлею принадлежит ряд фундаментальных теорем линейной теории колебаний.

Задачи о колебаниях континуальных систем близки к задачам сопромата и теории упругости. Из них наиболее практически важной была задача о поперечных колебаниях бруса. Первым ее для бруса постоянного сечения исследовал Даниил Бернулли, а полностью решил Леонард Эйлер.

Большой интерес к колебаниям пластин появился после знаменитых опытов Хладни. Уравнения колебаний пластины вывела Софи Жермен, которая, однако, допустила серьезную ошибку, правильное решение было получено Лагранжем.

Дальнейшее развитие теории колебаний континуальных систем связано с развитием теории упругости в основном представителями французской математической школа. В течение XIX века были разработаны аналитические методы расчетов колебаний различных твердых тел геометрически правильной формы. Из всех ученых можно отметить труды Пуассона, Кирхгоффа и основоположника Российской школы теории упругости А. Н. Динника.

Промышленная революция XVIII века, связанная с появлением и развитием паровой машины вызвала прогресс механики и выделение прикладной механики в отдельную дисциплину. Однако вплоть до конца 19 века расчеты на прочность велись в статической постановке, так как машины были еще маломощными и тихоходными. Что касается практических задач теории колебаний, то если не считать нескольких случаев обрушения мостов, в эпоху становления техники человечество не сталкивалось с явлением резонанса и даже само понятие резонанс трактовалось вплоть до начала XX века как явление акустическое.

Однако к концу XIX века, с ростом скоростей и уменьшением габаритов машин пренебрегать колебаниями стало невозможно. Многочисленные аварии, происходившие от наступления резонанса или усталостного разрушения при колебаниях, заставили инженеров обратить на них внимание.

Самой прогрессивной отраслью во второй половине 19-го столетия стало кораблестроение. Одной из первых масштабных задач прикладной теории колебаний стала задача о крутильных колебаниях пароходных валов. Первым эту проблему рассматривал немецкий инженер Герман Фрам, статья которого положила основу обширной теме исследования этой проблемы, одной из важнейших в развитии теории колебаний. Из множества предложенных методов наиболее распространенными стали методы М. Толле и В. П. Терских.

Второй важнейшей задачей является задача о поперечных колебаниях корпусов кораблей. При ее решении впервые использовались почти все методы исследования колебаний континуальных систем, в том числе Ритца и Бубнова – Галеркина.

Развитие техники в начале XX века, особенно турбо- и двигателестроения, появление облегченных конструкций расширило круг задач динамической прочности. Все чаще проблемы вибраций становятся решающими в вопросах прочности машин. Советских ученых и инженеров эти проблемы коснулись в 1930-е гг. с началом индустриализации страны. Большой вклад в развитие прикладной теории колебаний внесли украинские ученые академики С. В. Серенсен, Г. С. Писаренко. В. О. Кононенко, в том числе сотрудники ХПИ академик А. П. Филиппов, профессоры И. М. Бабаков, С. И. Богомолов, Е. Г. Голоскоков, Л. И. Штейнвольф и многие другие.

Особое место занимает Киевская научная школа нелинейной механики, сформировавшаяся в 1920-е гг. и получившая мировое признание. Ее основоположники школы академики Н. М. Крылов и Н. Н. Боголюбов создали новое научное направление – нелинейную механику.