Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число, определяемое равенством
(4.2)
При этом предполагается, что несобственный интеграл, стоящий в правой части равенства (4.2) существует.
Рассмотрим свойства математического ожидания. При этом ограничимся доказательством только первых двух свойств, которое проведем для дискретных случайных величин.
1°. Математическое ожидание постоянной С равно этой постоянной.
Доказательство. Постоянную 
можно рассматривать как случайную величину 
, которая может принимать только одно значение 
c вероятностью равной единице. Поэтому 
.
2°. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е. 
.
Доказательство. Используя соотношение (4.1), имеем
3°. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин:
(4.3)
4°. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин:
(4.4)
Под суммой (произведением) двух случайных величин 
и 
понимают случайную величину 
, возможные значения которой состоят из сумм (произведений) каждого возможного значения величины и каждого возможного значения величины .
2. Дисперсия и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение.
Во многих практически важных случаях существенным является вопрос о том, насколько велики отклонения 
случайной величины от ее математического ожидания.
Предварительно рассмотрим пример. Пусть две случайные величины и заданы следующими рядами распределения
Значения 
| -0,2 | -0,1 | 0,1 | 0,2 |
Вероятности 
| 0,25 | 0,25 | 0,25 | 0,25 |
| Значения
| -50 | -40 | ||
Вероятности 
| 0,25 | 0,25 | 0,25 | 0,25 |
Легко убедится в том, что математические ожидания этих величин одинаковы и равны нулю:
Однако разброс значений этих величин относительно их математического ожидания неодинаков. В первом случае значения, принимаемые случайной величиной , близки к ее математическому ожиданию, а во втором случае далеки от него. Для оценки разброса (рассеяния) значений случайной величины около ее математического ожидания вводится новая числовая характеристика - дисперсия.
Дисперсией 
случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математичеcкого ожидания:
(4.5)
Казалось бы, естественным рассматривать не квадрат отклонения, а просто отклонение случайной величины от ее математического ожидания. Однако математическое ожидание этого отклонения равно нулю, так как
Здесь мы воспользовались тем, что 
постоянно, а математическое ожидание постоянной есть эта постоянная. Можно было бы принять за меру рассеяния математическое ожидание модуль отклонения случайной величины от ее математического ожидания: 
. Однако, как правило, действия связанные с абсолютными величинами, приводят к громоздким вычислениям. Поэтому приняли то, что приняли.
Выведем теперь другую формулу для расчета дисперсии.
Пусть - дискретная случайная величина, принимающая значения 
соответственно с вероятностями 
. Очевидно, что случайная величина 
принимает значения
с теми же вероятностями . Следовательно, согласно определению математического ожидания дискретной случайной величины, имеем
(4.6)
Если же - непрерывная случайная величина с плотностью распределения 
, то по определению
(4.7)
Принимая во внимание определение дисперсии и свойства математического ожидания, имеем
Так как и 
- постоянные, то, используя свойства математического ожидания, получим
Следовательно,
Откуда окончательно находим
(4.8)
Рассмотрим теперь свойства дисперсии.
Дата добавления: 2015-09-11; просмотров: 718;