Понятие аппроксимации.

На практике часто приходится сталкиваться с задачей сглаживания экспериментальных данных – задача аппроксимации.

Основная задача аппроксимации – построение приближенной (аппроксимирующей) функции наиболее близко проходящей около данных точек или около данной непрерывной функции.

Аппроксимация, или приближение — математический метод, состоящий в замене одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми.

Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются, или свойства которых уже известны).

Некоторые разделы математики, в сущности, целиком посвящены аппроксимации, например, теория приближения функций, численные методы анализа.

Постановка задачи.Пусть величина у является функцией аргумента х. Это означает, что любому значению х из области определения поставлено в соответствие значение у. Вместе с тем на практике часто неизвестна явная связь между у и х, т.е. невозможно записать эту связь в виде некоторой зависимости y=f(x). В некоторых случаях даже при известной зависимости y=f(x) она настолько громоздка (например, содержит трудно вычисляемые выражения, сложные интегралы и т.п.), что ее использование в практических расчетах затруднительно.

В простейшем случае задача аппроксимации экспериментальных данных выглядит следующим образом:

Наиболее распространенным и практически важным случаем, когда вид связи между параметрами х и у неизвестен, является задание этой связи в виде некоторой таблицы {x_i, y_i}. Это означает, что дискретному множеству значений аргумента {x_i} поставлено в соответствие множество значений функции {y_i} (i=0, 1, …, n). Эти значения - либо результаты расчетов, либо экспериментальные данные. На практике нам могут понадобиться значения величины у и в других точках, отличных от узлов x_i. Однако получить эти значения можно лишь путем очень сложных расчетов или проведением дорогостоящих экспериментов.

Таким образом, с точки зрения экономии времени и средств мы приходим к необходимости использования имеющихся табличных данных для приближенного вычисления искомого параметра у при любом значении (из некоторой области) определяющего параметра х, поскольку точная связь y = f(x) неизвестна.

Этой цели и служит задача о приближении (аппроксимации) функций: данную функцию f(x) требуется приближенно заменить (аппроксимировать) некоторой функцией F(x) так, чтобы отклонение (в некотором смысле) F(x) от f(x) в заданной области было наименьшим. Функция F(x) при этом называется аппроксимирующей.