В металле по энергиям. Уровень и энергия Ферми. Вырождение электронного газа в металлах

Свободные электроны в металле можно рассматривать как своеобразный электронный газ. Первая попытка описать свойства металлов была предпринята Друде и Лоренцем в классической электронной теории металлов. Согласно этой теории электронный газ ведет себя подобно электронному газу, состоящему из молекул, и поэтому должен подчиняться статистике Максвелла-Больцмана. Но эта теория не смогла объяснить ряд явлений. Так, например, из опыта известно, что молярные теплоемкости всех твердых тел (и металлов, и диэлектриков) приблизительно одинаковы и равны 3R (закон Дюлонга и Пти). Отсюда следует, что теплоемкость электронного газа в металлах настолько мала, что ее вклад в общую теплоемкость не обнаруживается на опыте. По классической же теории теплоемкость электронного газа должна быть равна , а теплоемкость металла, равная сумме теплоемкости решетки и электронного газа, должна быть равна

C = 3R + =4,5 R (3.2.1)

Другим существенным затруднением классической теории является невозможность объяснения температурной зависимости сопротивления металлов. Опытным путем установлено, что удельное сопротивление практически всех металлов в достаточно широком температурном интервале линейно зависит от температуры

r = r₀ (1+at), (3.2.2)

где r- удельное сопротивление при температуре t, r₀ - удельное сопротивление при температуре 0°C, a - температурный коэффициент сопротивления при температуре 0°C.

Из классической же теории следует, что удельное сопротивление должно быть пропорционально корню квадратному из температуры.

Дальнейшее развитие физической науки привело к созданию квантовой механики и квантовой теории металлов, учитывающих волновые свойства электронов. Согласно квантовым представлениям электронный газ в металле подчиняется принципу Паули и описывается квантовой статистикой Ферми – Дирака

, (3.2.3)

где f_F - функция распределения Ферми-Дирака, характеризующая вероятность заполнения квантового состояния (уровня) с энергией Е, и равнаясредней степени заселенности электронами квантового состояния, соответствующего энергии Е, m - химический потенциал электронного газа. При абсолютном нуле температуры (Т=0 К) химический потенциал называют также энергией Ферми и обозначают E_F.

Найдем вид функции распределения f_F при Т=0 К.

Рассмотрим состояния электронов с энергией E < E_F . В этом cлучае показатель экспоненты в выражении (3.2.3) отрицателен;

при T → 0 → 0 f(E) → 1.

Для состояний электронов с энергией E > E_F показатель экспоненты в выражении (2.4) положителен;

при T → 0 → ∞ f(E) → 0.

Из этого рассмотрения следует, что при Т=0 функция распределения f_F принимает значения

(3.3.4)

Согласно зонной теории валентная зона, определяющая свойства металла, заполнена электронами частично. При абсолютном нуле температуры свободные электроны занимают все дозволенные энергетические уровни вплоть до уровня Ферми, при этом вероятность заполнения этих уровней равна 1. На каждом уровне согласно принципу Паули располагаются по 2 электрона с противоположными спинами (рис.3.4).

Уровни, энергия которых выше E_F, остаются совершенно свободными (вероятность их заполнения равна 0). Следовательно, энергия Ферми E_F представляет собой максимальную энергию, которую могут иметь электроны при абсолютном нуле температуры. Эта энергия не является тепловой (kТ=0), она имеет квантовую природу, обусловленную, в частности, принципом Паули, и зависит от концентрации свободных электронов в металле. Расчет дает для энергии Ферми следующее выражение

. (3.2.5)

Здесь h - постоянная Планка; n - концентрация электронов.

Наивысший энергетический уровень, занятый электронами при Т=0, называют уровнем Ферми. Уровень Ферми будет тем выше, чем больше концентрация n электронов. Как показывает расчет, средняя энергия электрона при Т=0 равна

. (3.2.6)

В таблице 3.1 приведены значения энергии Ферми для некоторых металлов.

Таблица 3.1.