Энергия Ферми и температура вырождения

Средняя энергия классического (невырожденного) газа составляет величину порядка ~ kT. При комнатных температурах (T≈300 K) kT ≈ 0,025 эВ. Сравнение этой величины с энергией Ферми показывает, что kT << E_F. Это означает, что электронный газ в металлах всегда вырожден, то есть проявляет чисто квантовые свойства.

Одним из критериев вырождения является температура вырождения, равная

. (3.2.7)

При T < T_F система вырождена и подчиняется квантовым статистикам. При T > T_F система не вырождена, и ее поведение подчиняется классической статистике Максвелла-Больцмана.

В таблице 3.1 приведены также температуры вырождения электронного газа. Они составляют по порядку величины десятки и сотни тысяч градусов. Значит электронный газ является вырожденным при всех температурах, при которых металл находится в твердом состоянии. Вырождению газа способствуют малое значение массы электронов m и их высокая концентрация n.

Рассмотрим поведение функции распределения f_F при Т>0

. (3.2.8)

С повышением температуры электроны приобретают тепловую энергию порядка kТ и переходят на более высокие энергетические уровни (выше уровня Ферми), вследствие чего меняется характер распределения их по энергетическим состояниям (рис.3.3, б). По сравнению с нулевой температурой спад кривой f_F(E) происходит не скачком до нуля при E=E_F, а происходит плавно в полосе шириной порядка ~ 2kT. Так как энергия теплового движения kТ значительно меньше энергии Ферми, то тепловому возбуждению могут подвергаться лишь электроны узкой энергетической полосы порядка kТ, непосредственно расположенной вблизи уровня Ферми (рис.3.5).

Электроны, находящиеся на более глубоких энергетических уровнях, остаются практически незатронутыми, так как энергии теплового движения kТ недостаточно для их возбуждения (для перевода за уровень Ферми). Энергии E=E_F, соответствует значение функции распределения . Поэтому при Т > 0 уровень Ферми - это уровень энергии, вероятность заполнения которого равна .

На рис.3.3,б заштрихованные площади пропорциональны числу электронов, покидающих состояние с энергией , (площадка АДВ) и переходящих на уровни, расположенные выше уровня Ферми (площадка ВМС). По величине эти площади равны друг другу. Доля электронов, приходящих в состояние теплового возбуждения, равна

, (3.2.9)

При комнатной температуре эта доля незначительна и составляет менее 1% от общего числа электронов проводимости.

Данным обстоятельством объясняется тот факт, что теплоемкость электронного газа оказывается чрезвычайно малой по сравнению с теплоемкостью решетки. Молярная теплоемкость его , а по классической теории . (Здесь R- универсальная газовая постоянная). Этот результат хорошо согласуется с опытом и снимает одно из затруднений классической электронной теории металлов.