Возрастание и убывание функций

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ

Одним из приложений производной является ее применение к исследованию функций, т.е. к характеристике поведения функции при изменении независимой переменной.

Возрастание и убывание функций

Согласно определению (п.1.12), функция возрастает (убывает) на интервале , если большему значению аргумента х из этого интервала соответствует большее (меньшее) значение функции у.

Из определения следует, что для возрастающей функции приращение функции и приращение аргумента имеют одинаковые знаки, и следовательно, их отношение положительно, т.е.

.

Для убывающей функции и имеют противоположные знаки, в силу чего, отношение приращений отрицательно:

.

Если функция в интервале дифференцируема, то, переходя в неравенствах к пределу при , получим:

− для возрастающей в интервале функции

;

− для убывающей в интервале функции

.

Сформулируем необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции.

Теорема(необходимые условия).

Если дифференцируемая на интервале функция возрастает (убывает), то ее производная неотрицательна: (неположительна: ) для всех .

Геометрически эта теорема означает, что касательные к графику возрастающей функции образуют острые углы ( ) с положительным направлением оси Ох (рис. 5.1), а касательные к графику убывающей функции − тупые углы ( ) (рис. 5.2).

Теорема(достаточные условия).

Если функция дифференцируема на интервале и ее производная положительна: (отрицательна: ) для всех , то эта функция возрастает (убывает) на интервале .

Рис. 5.1

Рис. 5.2

Таким образом, изучение вопроса об участках возрастания или убывания дифференцируемой функции сводится к исследованию знака первой производной этой функции.

Пример

Найти интервалы возрастания и убывания функции: .

Функция определена на всей числовой оси.

Имеем ; ; .

Следовательно, функция возрастает (« ↑ ») в интервале .

; .

Функция убывает (« ↓ ») в интервале .