СЛАУ с симметричными положительно определенными матрицами. Метод Холесского

Пусть матрица СЛАУ (5) симметричная и положительно определенная, т.е.: и для любого ненулевого вектора соответствующей размерности . Поскольку для положительно определенной матрицы выполняется критерий Сильвестра, то определители всех главных подматриц матрицы не равны нулю (они строго больше нуля), т.е. для выполнены условия теоремы об LU-разложении и для нее единственно разложение вида:

,

где - нижняя с единицами на главной диагонали и верхняя треугольные матрицы соответственно, причем диагональные элементы матрицы .

Представим матрицу в следующем виде:

,

тогда

. (50)

В силу симметричности матрицы имеем:

Итак, , где - нижние треугольные матрицы с единицами на главной диагонали, и - верхние треугольные матрицы с положительными диагональными элементами. LU-разложение определяется однозначно, поэтому:

,

а разложение (50) будет иметь вид:

.

Поскольку элементы матрицы положительные, представим ее в виде:

тогда

(50)

Разложение (50) называется разложением Холесского для симметричной положительно определенной матрицы.

Мы доказали

Теорему. Если - симметричная положительно определенная -матрица, то существует и единственно ее треугольное разложение , называемое разложением Холесского, где - нижняя треугольная матрица с положительными диагональными элементами.

Построение симметричного разложения Холесского производится аналогично тому, как строится LU-разложение матрицы.

Метод Холесского для СЛАУ с симметричной и положительно определенной матрицей , основанный на разложении Холесского матрицы СЛАУ, выглядит следующим образом:

Шаг 1. Построить разложение Холесского матрицы СЛАУ: ;

Шаг 2. Решить СЛАУ , в результате решения получить вектор ;

Шаг 3. Решить СЛАУ , в результате решения получить искомый вектор .

Пример. Пусть требуется решить СЛАУ

.

Матрица СЛАУ является симметричной, т.к. , и положительно определенной, поскольку . Таким образом, для решения данной СЛАУ можно воспользоваться методом Холесского.

Шаг 1. Построим для матрицы симметричное разложение:

.

Элемент матрицы равен произведению первой строки матрицы на первый столбец матрицы , т.е. , откуда . Элемент матрицы равен произведению первой строки матрицы на второй столбец матрицы , т.е. , откуда . Элемент матрицы равен произведению второй строки матрицы на второй столбец матрицы , т.е. , откуда . Таким образом:

.

Шаг 2. Решаем СЛАУ методом подстановки сверху вниз:

;

.

Шаг 3. Решаем СЛАУ методом подстановки снизу вверх:

,

.

Вопросы

1. Какая СЛАУ называется неоднородной?
2. Теорема об LU-разложении матрицы.
3. Для любой ли матрицы существует LU-разложение?
4. Сколько различных LU-разложений существует для матрицы?
5. Метод решения СЛАУ, основанный на LU-разложении матрицы системы.
6. Для каких матриц существует симметричное разложение?
7. Какая матрица называется полложительно определенной?
8. Существует ли для положительно определенной матрицы LU-разложение?
9. Метод Холесского.