Моделирование нормального распределения

Будем обозначать через - случайную величину, распределенную по нормальному закону с плотностью

Если а=0, =1, то говорят о стандартной нормальной случайной величине, которую обозначим N. Связь между и N простая:

=a+ N

Поэтому достаточно имитировать N. Разработаны многочисленные способы имитации этой величины. Рассмотрим некоторые из них.

Метод полярных координат.

Утверждение. Пусть Х и У независимые случайные величины со стандартным нормальным распределением. Рассмотрим случайную точку на плоскости - (Х,У) и ее полярные координаты и :

(9.1)

Тогда и будут независимыми случайными величинами, распределенными по следующим законам:

- имеет функцию распределения

- распределена равномерно на [0,2 ].

Наоборот, если и имеют указанные распределения и независимы, то величины Х и У, вычисленные по формулам (9.1), независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Доказательство очевидно из следующих преобразований:

= = = =

И обратно

= = = =

Рассмотрим способ имитации. Используя метод обратной функции, получим

Откуда

Полярный угол получается по формуле . Окончательно алгоритм имитации будет следующий

- от ДСЧ получаем и .

- вычисляем сразу пару значений N :

, .

Приведенный метод имитации N является точным, легко программируется и точно работает. Известен как метод Бокса и Маллера.

Известна модификация этого метода, дающая точные результаты быстрее. По этому методу генерируются два случайных числа и . Далее полагая и , вычисляют . При начинают цикл снова. При S<1 вычисляют