Корреляционные зависимости

Две случайные величины х и у находятся в корреляционной зависимости, если изменение одной из величин влечет за собой изменение закона распределения другой. Для характеристики зависимости между случайными величинами вводят понятие корреляционного момента или ковариации. Корреляционным моментом случайной величины х и у называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от их математических ожиданий

,

Для дискретной случайной величины (отношение) ковариация вычисляется

(1)

(2) (3)

Для непрерывных случайных величин

(4)

(5)

(6)

Из формулы (4) можно получить более простую формулу.

Получим

(7)

Теорема №1 Если случайные величины х и у независимы то их cov(x;y)=0

Доказательство: для непрерывной величины.

в формуле 4 заменим

центральный момент первого порядка равен нулю, следовательно и выражение равно нулю. Для независимых случайных величин необходимо чтобы cov=0, но обратно не верно.

Если ковариация двух случайных величин отлична от нуля - это есть признак зависимости между ними. cov характеризует не только зависимость величинами , но и их рассеивание. Если одна из величин весьма мало отклоняется от своего математического ожидания , то есть почти неслучайно, то cov – будет мала, какой бы тесной зависимостью не были бы связаны эти величины. Поэтому между случайными величинами вводят безразмерный коэффициент корреляции.