Производная по направлению

Дана функция U=f(x,y,z), дифференцируемая в точке M(x,y,z). Дадим x,y,z приращение .

Соединим M и N. Проведем диагональ и обозначим вектор Известны направляющие косинусы

Т.к. функция u=f(x,y,z) дифференцируема в точке M(x,y,z), то её полное

приращение представимо в виде:

где бесконечно малые при т.е.

Разделим обе части равенства на :

Но:

Тогда:

Перейдём к пределу при :

Опр. Если существует предел , то он называется производной от

функции u=f(x,y,z) по направлению S и обозначается:

Пример. Найти производную функции u=xy²+z³-xyz в точке М(1;1;2) в направлении, образующимся осями координат (углы:60°,45°,60°).

Градиент функции

Дана функция u=f(x,y,z)

Опр.Вектор, координатами которого являются частные производные от функции u=f(x,y,z), называется градиентом функции и обозначается:

Пример. Найти точки, в которых модуль градиента функции равен 2.

{по условию}

Во всех точках окружности с радиусом и с центром в начале координат

Связь производной по направлению с градиентом

Известно, что : . Введём орт

{по свойству скалярного произведения}

Ho ,значит

Если , то при этом производная по направлению градиента функции достигает наибольшего значения.

Если , то . В направлении перпендикулярен .

Экстремум функции двух переменных

Дана функция z=f(x,y).

Точка (x₀;y₀) называется точкой минимума функции z=f(x,y), если в любой ее окрестности выполняется неравенство: f(x₀;y₀)<f(x;y)

Точка (x₀;y₀)называется точкой максимума функции z=f(x,y), если в любой ее окрестности выполняется неравенство: f(x₀;y₀)>f(x,y)

Необходимое условие экстремума функции двух переменных

Если в точке (х₀,у₀) функция достигает максимума или минимума (если (х₀,у₀) -

точка экстремума ), то в этой точке её частные производные обращаются в нуль или не существуют, т.е. , или не существует.

Доказательство: Дано: (х₀,у₀) - точка экстремума, z=f(x,y).

Дадим у определённое значение у₀. Тогда z=f(x,y₀) будет функцией одной переменной х и согласно неоходимому условию экстремума функции одной переменной, производная от этой функции равна нулю или не существует т.е. или не существует. Аналогично, положим, что х=х₀, тогда z=f(x₀,у) - функция одной переменной у и согласно необходимому условию экстремума функции одной переменной или не существует.

Теорема.Достаточное условие экстремума функции двух переменных

Пусть z=f(x,y) в критической точке (х₀,у₀) непрерывна и имеет частные

производные включительно до второго порядка, и пусть , где Тогда

1. если и А<0,то (х₀,у₀) - точка максимума

2. если и А>0 ,то (х₀,у₀) - точка минимума

3. если , то экстремума нет.

4. если ответа нет, т.е. требуются дополнительные исследования.

Пример. Исследовать на экстремум функцию z=x²+3xy-18x-12y.

M (4;

- экстремума нет.

Наибольшее наименьшее значения функции в области

Пусть функция непрерывна в замкнутой области. Тогда по свойству функций, непрерывных в замкнутой области, она достигает в этой области своего наименьшего m и наибольшего М значений. Чтобы найти эти значения, нужно:

1.найти критические точки функции и вычислить значение функции в этих
точках;

2.найти наибольшее и наименьшее значения функции на границах;

3.среди найденных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=x²+y² -ху+х+y в области, заданной неравенством:

1.Находим критические точки: + (-1,1) z(-l,-l)=-l.

2.Исследуем на границе:

а)АО: x . Уравнение границы: у=0. Линия
пересечения у=0 с поверхностью z=x²+у²-ху+х+у имеет вид: z=x²+х (подстановка в уравнение y=0). Задача сводится к отысканию наибольшего, наименьшего значения функции z от -3 до 0 .
z (-3)=6;

z (0)=0;

z'=2x+1; 2x+1=0;

б) OB: x=0; y [-3;0]

Линия пересечения: z=y² +у.

z (-3)=0;

z (0)=6;

в)АВ: уравнение: х+у=-3; у=-х-3

Линия пересечения: z=x²+(-x-3)²-х(-х-3)+х-х-3; z=3х²+9х+6; х [-3;0].

z(0)=6; z'=6x+9; 6х+9=0; x=-

z(-3)=6;

3. Среди найденых значений z выбираем наибольшее и наименьшее: m=-1, М=6.

Условный экстремум

Требуется найти экстремум функции z=f(x,y), при условии, что х и у связаны соотношением: . Такой экстремум называется условным.

Равенство задаёт y как функцию от х неявно. Если бы удалось выразить y через х и подставить в функцию z = f(x,y), то z была бы функцией от одной переменной х. Поэтому в точках экстремума .

Найдём (по правилу дифференцирования сложной функции): .T.к. , тo (l).

Продифференцируем функцию по правилу дифференцирования сложной функции: (2).

Равенство (2) умножим на некоторое число , сложим с равенством (1). Получим: .

Раскроем скобки: .

Подберём таким образом, чтобы выражение .

Тогда . Добавим уравнение (х,y)=0 и получим систему, которая позволяет найти х, у, , в которых необходимым условием условного экстремума являются: .

Для облегчения написания этих условий вводится функция Лагранжа: .

Найдём:

Достаточное условие

Составляется дифференциал: d² F= .