Дифференциальное уравнение теплопроводности

Дифференциальное уравнение теплопроводности является математическим выражением закона сохранения энергии в веществе, взаимодействие которого с внешней средой происходит без совершения какой-либо работы. При этом считается, что передача теплоты в веществе осуществляется только за счет теплопроводности.

Согласно первому закону термодинамики

Здесь — суммарное количество теплоты, подведенной к телу, — изменение внутренней энергии; l — работа, совершенная телом над окружающей средой (как было сказано выше, ).

В общем случае величина q складывается из теплоты подведенной к телу и отведенной от него в окружающую среду через поверхность S, и теплоты, генерируемой внутри рассматриваемого объема (скажем, за счет химической реакции или нагрева в результате пропускания электрического тока). В целях упрощения вывода уравнения теплопро-водности мы последнюю составляющую теплоты учитывать не будем. Такое упрощение вполне справедливо для большинства процессов, протекающих, как правило, без генерирования тепловой энергии.

Согласно закону Фурье, количество теплоты, подводимое к стенке справа (рис. 10.3), определится выражением

Рис. 10.3. К выводу дифференциального уравнения теплопроводности

Теплота, которая отводится от стенки слева следующим образом

Теплота, которая поглотится рассматриваемым объемом, идет на изменение внутренней энергии тела. Она определяется как

Здесь — скорость изменения температуры в единице объема.

Из баланса энергии для рассматриваемого объема следует

(10.3)

Разделив выражение (10.3) на выполнив несложные преобразования, получим

(10.4)

Если перейти к пределу при , то член в левой части выражения (10.4) станет по определению второй производной температуры по x и уравнение примет вид

(10.5)

Введем обозначение

,

тогда выражение принимает окончательный вид дифференциального уравнения теплопроводности для одномерного поля температуры:

(10.6)

Если рассмотреть подобную задачу для трехмерного поля, т.е. учесть, что , то получим следующую форму дифференциального уравнения теплопроводности.

(10.7)

В выражениях (10.6) и (10.7) коэффициент a получил название коэффициента температуропроводности. Нетрудно убедиться, что коэффициент a имеет размерность м²/с.

Коэффициент температуропроводности характеризует скорость изменения температуры в нестационарных тепловых процессах и является мерой теплоинерционных свойств вещества. Величины коэффициента температуропроводности для различных веществ при различных значениях температуры приводятся в теплофизических справочниках.