Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат
тогда линейные операции над ними в координатах имеют вид:
Скалярное произведение векторов.
Определение. Скалярным произведениемвекторов 
и 
называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними.
× = ï ïï ïcosj
Свойства скалярного произведения:
1) × = ï ï2;
2) × = 0, если ^ или = 0 или = 0.
3) × = × ;
4) ×( + 
) = × + × ;
5) (m )× = ×(m ) = m( × ); m=const
Если рассматривать векторы 
в декартовой прямоугольной системе координат, то
× = xa xb + ya yb + za zb;
Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла между векторами:
;
Пример. Найти (5 + 3 )(2 - ), если 
10 × - 5 × + 6 × - 3 × = 10 
,
т.к. 
.
Пример. Найти угол между векторами и , если 
.
Т.е. = (1, 2, 3), = (6, 4, -2)
× = 6 + 8 – 6 = 8:
.
cosj = 
Пример. Найти скалярное произведение (3 - 2 )×(5 - 6 ), если 
15 × - 18 × - 10 × + 12 × = 15 
+ 12×36 = 240 – 336 + 432 = 672 – 336 = 336.
Пример. Найти угол между векторами и , если 
.
Т.е. = (3, 4, 5), = (4, 5, -3)
× = 12 + 20 - 15 =17 :
.
cosj = 
Пример. При каком m векторы 
и 
перпендикулярны.
= (m, 1, 0); = (3, -3, -4)
.
Пример. Найти скалярное произведение векторов 
и 
, если 
( )( ) = 
= 10 +
+ 27 + 51 + 135 + 72 + 252 = 547.
Векторное произведение векторов.
Определение. Векторным произведениемвекторов и называется вектор 
, удовлетворяющий следующим условиям:
1) 
, где j - угол между векторами и ,
2) вектор ортогонален векторам и
3) , и образуют правую тройку векторов.
Обозначается: 
или 
.
 |
j
Смешанное произведение векторов.
Определение. Смешанным произведением векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор, равный векторному произведению векторов и .
Обозначается 
или ( , , ).
Смешанное произведение по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , и .
 |
Уравнение поверхности в пространстве.
Определение. Любое уравнение, связывающее координаты x, y, z любой точки поверхности является уравнением этой поверхности.
Общее уравнение плоскости.
Определение. Плоскостьюназывается поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:
Ax + By + Cz + D = 0,
где А, В, С – координаты вектора 
-вектор нормали к плоскости.
Возможны следующие частные случаи:
А = 0 – плоскость параллельна оси Ох
В = 0 – плоскость параллельна оси Оу
С = 0 – плоскость параллельна оси Оz
D = 0 – плоскость проходит через начало координат
А = В = 0 – плоскость параллельна плоскости хОу
А = С = 0 – плоскость параллельна плоскости хОz
В = С = 0 – плоскость параллельна плоскости yOz
А = D = 0 – плоскость проходит через ось Ох
В = D = 0 – плоскость проходит через ось Оу
С = D = 0 – плоскость проходит через ось Oz
А = В = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью хОу
А = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью xOz
В = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью yOz
Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
Дата добавления: 2015-08-14; просмотров: 601;