Префиксные коды

Наиболее простыми и часто используемыми кодами без специального разделителя кодовых слов являются так называемые префиксные коды [29].

Определение. Код, обладающий тем свойством, что никакое кодовое слово не является началом (префиксом) другого кодового слова, называется префиксным.

Теорема 1. Префиксный код является однозначно декодируемым.

Доказательство. Предположим противное. Тогда существует слово которое можно представить двумя разными способами , причем до номера все подслова в обоих представлениях (разложениях) совпадают, а слова и различны. Отбросив одинаковые префиксы двух равных слов (представлений), получим совпадающие окончания , начинающиеся с различных слов. Из-за равенства окончаний первые буквы слов и должны совпадать. По аналогичной причине должны совпадать и вторые буквы этих слов и т.д. Это означает, что неравенство слов и может заключаться только в том, что они имеют разную длину и, следовательно, одно из них является префиксом другого. Это противоречит префиксности кода.

Множество кодовых слов можно графически изобразить как поддерево словарного дерева (рис.6.5). Для этого из всего словарного дерева следует показать только вершины, соответствующие кодовым словам, и пути, ведущие от этих вершин к корню дерева. Такое поддерево называют деревом кода или кодовым деревом.

На рис.6.5 а) - дерево, соответствующие коду, у которого все слова имеют одинаковую длину. Кружками помечены те вершины, которые соответствуют кодовым словам. В данном случае это 4 двухбуквенных слова, составляющих второй уровень словарного дерева (универсума). Нетрудно понять, как отражается свойство префиксности или его отсутствие на кодовом дереве. Рассмотрим код, состоящий из слов (0, 10, 111). Это не полный префиксный код, так как к коду можно добавить слово 110, которое получается из слова 11 приписыванием справа 0. Эта операция показана на рис.6.5 б) пунктирным ребром. На рис.6.5 в) показано дерево полного префиксного кода. В данном случае вершины, соответствующие словам префиксного кода, как бы "разрезают" словарный универсум на две части - "верхнюю" и "нижнюю". Если попытаться добавить слово "выше" кодовых слов, то одно из кодовых слов станет префиксом добавляемого слова. Если добавлять слово "ниже" слов префиксного кода, то добавляемое слово окажется префиксом одного из кодовых слов. В обоих случаях нарушается свойство префиксности. На рис.6.5г) представлено дерево для рассмотренного ранее кода, не обладающего свойством префиксности. Таким образом, если свойство префикса не выполняется, то некоторые промежуточные вершины дерева могут соответствовать кодовым словам.

Рис. 6.5.Деревья различных кодов

Замечание. Свойство префиксности является достаточным, но не является необходимым для однозначной декодируемости.

Пример. Код, состоящий из двоичных кодовых слов 1, 10, - не префиксный, но может быть однозначно декодирован. Появление символа 1 означает начало нового кодового слова. Последнее остается справедливым для кода, каждое слово которого есть единица с последующими нулями. Разумеется, подобные коды далеко не самые экономные.

Если код префиксный, то, читая кодовую запись подряд от начала, мы всегда сможем разобраться, где кончается одно кодовое слово и начинается следующее. Если, например, в кодовой записи встретилось кодовое обозначение 110, то разночтений быть не может, так как в силу префиксности наш код не содержит кодовых обозначений 1, 11 или, скажем, 1101. Именно так обстояло дело для рассмотренного выше кода, который очевидно является префиксным.