Системы координат употребляемые в высшей геодезии.

1. Система пространственных прямоугольных координат:

1 – Гринвичский меридиан;

2 – плоскость экватора;

OZ направлена по полярной оси эллипсоида;

OY расположена в плоскости экватора, 90^◦ начального меридиана;

M лежит на поверхности эллипсоида;

3 – параллель точки M;

L – геодезическая долгота.

Из точки М проведем линию параллельную ОР, получим точку М₁; проведем линию параллельную ОХ, получим точку М₂.

Координаты точки М:

Х_м = М₁М₂;

Y_м = ОМ₂;

Z_м = ММ₁.

Достоинство этой системы координат – можно использовать в космической геодезии.

x_max = a

PR₁P₁R – меридианный эллипс,

проходящий через точку M.

Для практических вычислений координаты в этой системе не используются.

3. Система геодезических координат:

точки M;

L – геодезическая долгота;

B – геодезическая широта;

n – пересечение нормали с осью эллипсоида.

Это основная система сфероидической геодезии.

Достоинства этой системы координат:

- система едина для всей поверхности эллипсоида;

- не требует дополнительных построений, так как координатные линии это параллели и меридианы;

- определяет положение нормали в данной точке, а это важно при изучении уклонений отвесных линий.

В пространственных координатах здесь используется H – высота точки над эллипсоидом.

H – отрезок нормали от точек физической поверхности до точки на эллипсоиде.

r – геоцентрический радиус -

вектор;

φ – геоцентрическая щирота;

2 – окружность с центром в т.О;

u – приведенная широта;

В – геодезическая широта;

ОМ = r – геоцентрический радиус-

вектор.

4. Связь между разными системами координат.

(6)

; (7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

Из формулы 9 следует, что (14)

(*), где S и Z отвлеченные величины, а в зависимости от k можно получить формулы с 11-ой по 14-ую.

S	Z	k	формулы
u	B		(12)
	u		(13)
B	u	-1	(12)
u		-1	(13)
	B		(14)
B		-2	(14)

, где W – первая функция широты.

(15)

, где V – вторая функция широты.

, ;

.

5. Связь между различными системами координат в пространстве.

Рассмотрим пространственную геоцентрическую систему координат.

L – долгота;

x, y – меридианные координаты эллипса;

а – большая полуось эллипсоида;

е – эксцентриситет эллипсоида;

u – приведенная широта;

N – радиус кривизны первого вертикала;

H – геодезическая высота;

B – геодезическая широта.

, где W – первая основная функция геодезической широты.

M – радиус кривизны меридиана:

Радиус кривизны произвольного нормального сечения:

, где А – азимут.

R_o^◦ = M; R₉₀^◦ = N

; ;

ны:

;

следовательно, N=c/V, где с – полярный радиус кривизны меридиана.

;

Неравенство N<R<M используется для контроля вычислений.

Рассмотрим формулы перехода от Х,Y,Z к B,L,H и обратно.

Для определения четверти L (смотреть рисунок):

(15) , где

(16)

, где - геоцентрическая широта, (17)

(18) – требуется до пяти приближений.

(19)

(20)

Подставив формулу (20) в формулу (15) получим:

(21)

6. Длинна дуги меридиана.

dS = M*dB, где dS – малое расстояние на эллипсоиде по меридиану; M – радиус кривизны меридиана, dB – малая разность широт.

,

От дифференциального уравнения перейдем к интегральному. Интегрируем по S и B:

;

Это эллиптический интеграл, следовательно, для его нахождения применим ряд:

универсальные формулы для любых

размеров эллипсоида

Для средней широты имеем:

удобно пользоваться в градусных измерениях.

Для расстояний 400 км:

дает ошибку в длине 1мм.

Для расстояний меньше 45 км:

, где и , где N – радиус кривизны первого вертикала.

7. Вычисление длинны дуги параллели.

- радиус параллели;

B – широта;

N – радиус кривизны первого вертикала;

l^’’ – разность долгот в секундах.

l^’’=(2)*S’*secB.

8. Расчет рамок съемочных трапеций.

Площадь трапеции:

e – основание натурального логарифма;

b – малая полуось.

9. Кривые на эллипсоиде вращения.

A,Б – точки на эллипсоиде на

разных меридианах;

Аn_a – нормаль к эллипсоиду

в точке А;

Bn_b – нормаль к эллипсоиду

в точке B;

Проведём плоскость через три точки Аn_аВ. В этой плоскости лежит нормаль Аn_а. Эта плоскость называется нормальной плоскостью в точке А, проходящей через точку В. Кривая АаВ есть прямое нормальное сечение в точке А на точку В.

Плоскость, проходящая через три точки Bn_bА, образует на эллипсоиде нормальное сечение из точки В на точку А. Это новая плоскость оставит след на эллипсоиде b.

Кривая BbA будет не совпадать с а. b – называется кривая обратного нормального сечения.

а не совпадает с b потому что нормали Аn_а и Bn_b не лежат в одной плоскости. Нетрудно заметить, что несовпадение прямых и обратных нормальных сечений приводит к тому, что измеренные горизонтальные углы на трех пунктах не образуют на поверхности эллипсоида замкнутого треугольника, фигура получится разорванной.

Если треугольник будет состоять из геодезических линий, то фигура не будет разорванной.

При этом геодезическая линия на поверхности эллипсоида делит угол Δ в отношении 1:2 и располагается ближе к прямому нормативному сечению, то есть .

Из теоремы Клеро известно:

, где А – азимут; u – приведенная широта.

Зная, что , можем записать:

Исходя из этой формулы, запишем в окончательном виде формулу для вычисления :

;

Здесь Aⁿ – азимут нормального сечения.

;

Решение малых сферических и сфероидических треугольников.

Для сферического треугольника: А+С+В=180◦ + Ɛ, где Ɛ – сферический избыток. , где P – площадь треугольника, R – средний радиус кривизны эллипсоида на район работ.

Введем обозначения:

,тогда

A₁, B1, C1 – плоские приведенные углы.

По теореме Лежандра:

;

;

.

Если треугольник с большими сторонами, то его следует рассматривать как сфероидический треугольник:

;

;

.

;

– гаусова кривизна вершин треугольника ABC.

S – стороны равностороннего треугольника,

если S = 60 км, то Ɛ = 8’’;

если S = 30 км, то Ɛ = 2’’;

если S = 20 км, то Ɛ = 1’’;

если S = 10 км, то Ɛ = 0,25’’;

если S = 5 км, то Ɛ = 0,07’’.

Решение треугольника по теореме Лежандра:

Измеренные углы		Уравненные сферические углы.		Углы плоского треугольника	sin	Стороны сферического треугольника
Bизм						b известно
Aизм						a
Cизм						c
		Ʃ=180◦ +Ɛ		Ʃ=180◦

Применение способа аддитаментов:

Измеренные углы		Уравненные сферические углы		Приближен.стороны	Аддита-менты	Стороны сферич.тре-угольника
Bизм				b’	Ab	b известно
Aизм				a’	Aa	a
Cизм				c’	Ac	c

; ; ;

;

;

.

Общие сведения о вычислении широт, долгот и азимутов.

Будем рассматривать задачу вычисления координат точек на поверхности эллипсоида вращения.

Здесь изучим методы вычисления геодезических координат.

На плоскости:

Прямая задача: Дано:x₁,y₁,S,α

Найти: x₂,y₂

Обратная задача: Дано:x₁,y₁,S,α

Найти: x₂,y₂

На эллипсоиде:

Прямая задача: Дано: B₁,L₁,S_1,2,A_1,2

Найти: B₂,L₂, A_2,1

Обратная задача: Дано: B₁,L₁,B₂,L₂

Найти: S_1,2,A_1,2, A_2,1

Прямая и обратная задачи называются главными геодезическими задачами.

Рассмотрим расстояние S_1,2:

Они бывают: малые – 30-45 км;

средние – 300 км;

большие – до 5000 км;

очень большие – до 19000 км.

Прямой путь решения: решаем сфероидический треугольник PAB.

Косвенный путь: вычисляем разности:

;

;

Тогда во втором косвенном пути:

;

;

.

Поговорим о точности вычислений:

, где - точность положения на плоскости;

M – радиус кривизны меридиана;

- ошибка широты.

если , то , следовательно ,

При расстояниях 25 км вычисления B и L требуется выполнить с семью значными цифрами, а азимут А до сотых.

Рассмотрим формулы решения прямой геодезической задачи косвенным способом:

, – средняя широта и азимут.

-радиус кривизны меридиана для средней широты.

– радиус кривизны первого вертикала.

Для решения этой задачи необходимы приближения.

Обратная геодезическая задача:

расстояние , контроль ,

Решение главной геодезической задачи по способу Бесселя.

Задача решается на эллипсоиде путем конформного преобразования на поверхности шара.

Сделаем чертеж:

На шаре имеем 3 точки.

Рассмотрим решение прямой геодезической задачи на эллипсоиде:

По теореме Клеро:

δ – зависит от δ, т.е. задача решается методом приближений.

, , ;

;

;

;

;

;

В первом приближении

(Ф.1)

Далее вычисляют ,w, и u₂ по формулам:

Из треугольника A₁P₁B₁ вычисляют ,w, и u₂ по двум сторонам 90-u, и углу A_2.

Далее находят разность долгот:

(Ф.2)

;

(Ф.3)

Решение обратной геодезической задачи по способу Весселя:

1)

2) .

разность находим по формуле Ф.3.

3) Вычислим w по формуле Ф.2.

4) Находим А_1,2 и А_2,1 из сферического треугольника A₁P₁B₁

5) Находим сторону S по формуле Ф.1.

Это единственный способ позволяющий решать задачи до 20000 км.