Вопрос 3 - Начальная критическая нагрузка

По определению, начальная критическая нагрузка соответствует случаю, когда в основании под подошвой фундамента в единственной точке под гранью фундамента возникает предельное состояние.

Для нахождения величиныр _{нач. крит.} в случае плоской задачи пользуются расчетной схемой рисунка 6. При этом необходимо иметь ввиду, что в случае центрально-нагруженного фундамента распределение контактных напряжений может быть принято по закону прямоугольника. Расчетная схема такой задачи приведена на рисунке 19.

Рисунок 19 – Расчетная схема для определения

начальной критической нагрузки

В основании выбирают некоторую точку М. В этой точке определяют контактное напряжение р, при котором в этой точке возникнет предельное напряженное состояние. Полное напряжение в точкеМ- сумма напряжений от собственного веса грунта, лежащего выше этой точки, и от местной дополнительной нагрузки интенсивностью р – q.

Вертикальное сжимающее напряжение от собственного веса грунта в точке М будет максимальным главным напряжением и при различных удельных весах грунта засыпки выше подошвы фундамента γ' и ниже этого уровня γ запишется в виде уравнения (5.5):

σ _{l g} = q + γ z = γ' d + γ z, (5.5)

Горизонтальное сжимающее напряжение будет минимальным главным напряжением; его можно выразить через коэффициент бокового давления грунта (5.6):

σ _{3 g} = ξ σ _{l g} , (5.6)

Примем для упрощения гидростатический закон распределения напряжений от собственного веса грунта, то есть при ξ = 1. Тогда:

σ _{3 g} = σ _{l g} = γ' d + γ z, (5.7)

Максимальное и минимальное главные напряжения в точке М от местной полосовой нагрузки интенсивностью можно записать в соответствии с формулами (4.9) и (4.10) в виде уравнений (5.8) и (5.9):

σ _{1, p - q} = (p - γ' d) / π (α + sin α) ; (5.8)

σ _{3, p - q} = (p - γ' d) / π (α - sin α), (5.9)

где α - угол видимости (Рисунок 19).

Таким образом, в модели линейно деформируемой среды полные напряжения в точке М определяют по формулам (5.10) и (5.11):

σ ₁ = σ _{1, p - q} + σ _{l g} = (p - γ' d) / π (α + sin α) + γ' d + γ z , (5.8)

σ ₃ = σ _{3, p - q} + σ _{3 g} = (p - γ' d) / π (α - sin α) + γ' d + γ z, (5.9)

Предельное напряженное состояние в точке М реализуется при соблюдении условия (5.3). Подставив выражения (5.8) и (5.9) в формулу (5.3), получим выражение (5.10):

[(p - γ' d) / π] sin α - sin φ {[(p - γ' d) / π] α + γ' d + γ z} = c cos φ , (5.10)

Выражение (5.10) можно рассматривать как уравнение границы области, проходящей через точку М, на контуре которой при действии под подошвой фундамента напряженияр имеет место состояние предельного равновесия.

Координаты точек этой границы определяются неизвестными z и α. Решая уравнение (5.10) относительно z, получим выражение (5.11):

z = [(p - γ' d) / π γ] [(sin α / sin φ) - α] - γ' d / γ – c/ (γ . ctg φ), (5.11)

Это уравнение при заданном значении р в явном виде определяет ординату границы области предельного равновесия z при произвольных значениях угла видимости α. Максимальную глубину границы этой областиz _мах можно найти, взяв производную dz / dαи приравняв ее нулю:

dz / dα = [(p - γ' d) / π γ] [(cos α / sin φ) - 1] = 0 , (5.12)

Из уравнения (5.12) следует, что при z = z _мах:

cos α = sin φ, то есть α = π/2 – φ и sin α = cos φ, (5.13)

Тогда, подставив выражение (5.13), получим для z _мах выражение вида (5.14):

z _мах = [(p - γ' d) / π γ] [(ctg φ + φ – π/2) - γ' d / γ – c/ (γ . ctg φ), (5.14)

Решая уравнение (5.14) относительно р, найдем такое значение критического напряжения под подошвой фундамента, при котором область предельного равновесия развивается на заданную максимальную глубину (5.15) z _мах :

р _кр = [π(γ z _мах + γ' d + c . ctg φ)] / (ctg φ + φ – π/2) + γ' d, (5.15)

Из определения понятия р _{нач. крит.} в формуле (5.15)вначале следует принять z _мах = 0. Тогда в единственной точке основания под гранью фундамента будет выполняться условие предельного равновесия. При этом окончательно имеем формулу Пузыревского(5.16):

р _{нач. крит.} = [π(γ' d + c . ctg φ)] / (ctg φ + φ – π/2) + γ' d, (5.16)

Выражение (5.16) без учета сцепления грунта было впервые получено Н.П. Пузыревским, поэтому его часто называютформулой Пузыревского.

Для идеально связных грунтов (φ = 0; с > 0) к которым относят слабые глинистые грунты (илы), глинистые грунты в состоянии незавершенной консолидации и в некоторых случаях мерзлые глинистые грунты, приняв в формуле (5.16) φ = 0, получим (5.17):

р _{нач. крит.} = π c + γ' d, (5.17)

Фундамент, запроектированный так, что напряжение под его подошвой не превышает начальной критической нагрузки, будет находиться в совершенно безопасном состоянии. Однако, как показывает практика, грунты основания при этом будут обладать резервом несущей способности.